Symmetrische Gleichung

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Eine symmetrische Gleichung ist eine polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist. Weil mit jeder Lösung auch eine Lösung ist, werden sie auch reziproke Gleichungen genannt. Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen, spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine polynomiale Gleichung -ten Grades

heißt symmetrisch, wenn für alle gilt. Gilt dagegen , so wird die Gleichung antisymmetrisch genannt. Das Polynom

wird dann auch palindromisch[1] (engl.: palindromic polynomial) bzw. antipalindromisch genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Polynom vom Grad mit reellen oder komplexen Koeffizienten.

  1. Wenn palindromisch oder antipalindromisch ist, ist .
  2. Wenn antipalindromisch und gerade ist, gilt .
  3. ist genau dann palindromisch, wenn , und genau dann antipalindromisch, wenn .
  4. Wenn palindromisch und ungerade ist, gilt . Wenn antipalindromisch ist, gilt .
  5. Wenn palindromisch oder antipalindromisch und ist, so ist und . und sind dann Lösungen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung .
  6. Sind und palindromische Polynome, so auch das Produkt . Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
  7. Sind und palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch palindromisch oder antipalindromisch.
  8. Ist mit jeder Lösung der Gleichung auch der Reziprokwert eine Lösung der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie , dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
  9. Ist ein Polynom vom Grad , so ist ein palindromisches und ein antipalindromisches Polynom vom Grad .
  10. Ist ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad , so existiert genau ein Polynom vom Grad mit (bzw. ).
  11. Wenn alle Koeffizienten reell sind und alle komplexen Nullstellen von den Betrag 1 haben, dann ist palindromisch oder antipalindromisch.[2]

Allgemeine Lösungsstrategien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besondere Lösungsstrategien helfen bei Gleichungen ab 5. Grad, da hier keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr existiert.

Symmetrische Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrische Gleichungen können daher bis zum Grad 9 auf Gleichungen 4. Grades (oder kleiner) zurückgeführt werden, so dass auch hier alle Nullstellen bestimmt werden können.

Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit geradem Grad und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten[3]:

  1. Division aller Glieder des Polynoms durch
  2. Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten
  3. Substitution , , usw.
  4. Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in vom Grad
  5. Lösungen für berechnen
  6. Einsetzen jeder Lösung von in die Substitutionsgleichung und Auflösung nach , so dass mit jedem zwei Lösungen aus der Gleichung bestimmt werden können.

Bei symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten ist eine Nullstelle entweder 1 oder −1. Diese wird durch Einsetzen bestimmt, anschließend wird der entsprechende Linearfaktor oder mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung geraden Grades entsteht.

Berechnung der Substitutionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Substitutionen für höhere Potenzen lassen sich so ermitteln: Sucht man beispielsweise die Substitution für , so lässt sich mit dem Ansatz

durch ausmultiplizieren der Ausdruck

gewinnen. Einsetzen der bereits bekannten Substitution und ordnen führt zu

Auf diese Art lassen sich rekursiv immer weitere Substitutionen für höhere Potenzen von aus den bereits bekannten Substitutionen für kleinere Potenzen konstruieren.

Resubstitution zur Berechnung der Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sobald man eine Lösung gefunden hat, löst man die Substitutionsgleichung nach auf. Dadurch ergeben sich für jedes zwei Lösungen für aus der quadratischen Gleichung

,

und damit für jedes

.

Das absolute Glied der quadratischen Gleichung ist 1, so dass sich aus dem Vietaschen Wurzelsatz ergibt, dass die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung reziprok sein müssen. Es wird also zu jedem auch bestimmt.

Andere reziproke Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem auch immer eine Lösung ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Lösungen berechnen. Dazu eignet sich die Substitution

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:

Wie sich hier zeigt, ist für die geraden Potenzen von eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

Lösungsformeln für spezielle Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in führt.

Symmetrische Gleichung 4. Grades[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine quartische Gleichung in Normalform

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und ergibt sich die quadratische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die Lösungen und .

Beispiel: Die Gleichung wird durch die genannte Substitution zur quadratischen Gleichung mit den Lösungen 10/3 und 5/2 für , woraus sich die Gleichungen und mit den Lösungen −2; −1/2; 1/3 und 3 auch der ursprünglichen Gleichung ergeben.

Symmetrische Gleichung 6. Grades[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und und ergibt sich die kubische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die Lösungen , und mit Hilfe der Lösungsformeln für die kubischen Gleichung.

Symmetrische Gleichung 8. Grades[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und , und ergibt sich die quartische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die Lösungen , , und mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

Weitere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Lösungsformeln am schnellsten bestimmen.
  • Bei kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist +1 oder −1 eine Lösung, danach führt eine Polynomdivision zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.
Beispiele:
  • Die linke Seite der symmetrischen Gleichung 3. Grades mit den Lösungen −1/3, −1 und −3 wird durch Division durch zu , woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.
  • Die linke Seite der antisymmetrischen Gleichung 3. Grades mit den Lösungen −1/3, 1 und −3 wird durch Division durch ebenfalls zu , woraus sich die weiteren Lösungen ergeben.
  • Bei der quintischen Gleichung (Gleichung 5. Grades) ist wieder +1 bzw. −1 eine Lösung. Eine Polynomdivision durch bzw. führt zu einer symmetrischen Gleichung 4. Grades.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Frank Celler: Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP (Dissertation) [1] (GZIP; 233 kB)
  2. The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials[2]
  3. Meyers Großer Rechenduden, Bibliographisches Institut AG Mannheim (Dudenverlag), 1961; Ohne Angabe einer ISBN und Auflage