Symplektische Gruppe

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Die symplektische Gruppe ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Die symplektische Gruppe in Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes und jeden Körper F mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(2n,F).

mit

wobei die Einheitsmatrix und 0 die n x n Nullmatrix bezeichnet.

Für ist eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von Sp(2n, F) ist

.

Kompakte symplektische Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kompakte symplektische Gruppe ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum definierte Skalarprodukt

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. ist aber die kompakte reelle Form von .

ist eine -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

,

wobei die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

MathWorld: Symplectic Group