Symplektische Gruppe

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Die symplektische Gruppe ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Die symplektische Gruppe in Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes und jeden Körper mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe

mit

wobei die Einheitsmatrix und 0 die n x n Nullmatrix bezeichnet.

Für ist eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von ist

.

Kompakte symplektische Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kompakte symplektische Gruppe ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum definierte Skalarprodukt

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. ist aber die kompakte reelle Form von .

ist eine -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

,

wobei die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt .

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

Endliche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Körper endlich mit Elementen, so schreibt man an Stelle von . Man erhält eine endliche Gruppe mit

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus , es hat daher zwei Elemente für ungerades und ist trivial für gerades .

Projektive symplektische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit Elementen ist

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von und .[1] Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ Cn und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird auch mit bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

MathWorld: Symplectic Group