Tangens und Kotangens

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen werden unter Tangens (Begriffsklärung) aufgeführt
Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels wird mit bezeichnet, der Kotangens des Winkels mit . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen für den Tangens und für den Kotangens.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historisch/geometrisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition am Einheitskreis:

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.[1]

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

Daraus folgt unmittelbar:

sowie

Formal – mit Definitions- und Wertebereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

mit

definiert werden,[2] wobei der Wertebereich je nach Anwendung die reellen oder die komplexen Zahlen sind. Um zu verhindern, dass der Nenner Null wird, werden beim Definitionsbereich die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

im Reellen bzw.

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

mit

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

im Reellen bzw.

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von und

gilt

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Periodenlänge (halbe Drehung):

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens:
Kotangens:   

Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens:
Kotangens:   

Wendestellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens:
Kotangens:   

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens Kotangens Ausdruck num. Wert
0
0.2679491…
0,4142135…
0,5773502…
1
1,7320508…
2,4142135…
3.7320508…
Polstelle

Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens
.

Ihre Umkehrfunktion

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens
.

Ihre Umkehrfunktion

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)
Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt (Maclaurinsche Reihe) lautet für [3]

Dabei sind mit die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für [4]

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Die -ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens
   mit    
Kotangens
   mit    

Komplexes Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  mit
  mit

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

bzw.

wenn ein Vielfaches von ist.

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

(Ko-)Tangens-Darstellung von Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sinus- und die Kosinusfunktion lassen sich durch Tangens- bzw. Kotangensfunktionen ausdrücken:

Dies lässt sich mit Hilfe folgender Rechnung nachvollziehen:

Dabei wurde ausgenutzt. Auflösen nach bzw. liefert obige Relationen.

Rationale Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist , so ist

Insbesondere ist

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes (der dem Parameter entspricht). Einem Parameterwert entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von und mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung der Geraden, d. h. . Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Dann ergibt sich:

,

wobei die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

.

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn v = 0 ist, das heißt für ), daran anschließend muss man den Tangens Hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

mit der imaginären Einheit . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte , : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen und Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Tangensfunktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikiversity: Tangens und Kotangens – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
  2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  3. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.67
  4. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.70