Taylorreihe

Approximation von ln(x) durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1.

In der Analysis verwendet man die nach Brook Taylor benannte Taylorreihe, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen. Die Reihe ist der Grenzwert der Taylor-Polynome und man nennt diese Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung.

Definition

Sei $I \subset \R$ ein offenes Intervall, $f\colon I\rightarrow\R$ eine glatte Funktion und $a$ ein Element von $I$. Dann heißt die unendliche Reihe

$\begin{align} T f(x; a) & = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{align}$

die Taylorreihe von $f$ mit Entwicklungsstelle $a$. Hierbei bezeichnet $n!$ die Fakultät von $n$ und $f^{(n)}$ die $n$-te Ableitung von $f$, wobei man $f^{(0)} := f$ setzt.

Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“ zu verstehen, das heißt, es wird nicht vorausgesetzt, dass sie konvergiert. In der Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für $T\log(x;1)$ siehe obige Abbildung).

Im Spezialfall $a = 0$ wird die Taylorreihe auch Maclaurin-Reihe genannt.

Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe

$T_1 f(x; a) := f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$

nennt man auch Linearisierung von $f$ an der Stelle $a$. Allgemeiner nennt man die Partialsumme

$T_N f(x; a):= \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,$

die für festes $a$ ein Polynom in der Variablen $x$ darstellt, das $N$-te Taylorpolynom.

Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion $f$ abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der Numerik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

Eigenschaften

Die Taylorreihe $Tf(x;a)$ zur Funktion $f$ ist eine Potenzreihe mit den Ableitungen:

$\begin{align} \left(T f\right)^{(k)}(x; a) &= \left(\frac{d}{dx}\right)^{k-1}\sum_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left(\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\right) = \left(\frac{d}{dx}\right)^{k-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} n(x-a)^{n-1}\\ &= \left(\frac{d}{dx}\right)^{k-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n+1)}(a)}{n!} (x-a)^n = \left(T f'\right)^{(k-1)}(x; a) \end{align}$

und somit durch vollständige Induktion

$\left(T f\right)^{(k)}(x; a)=\left(T f^{(k)}\right)(x; a)$

Übereinstimmung an der Entwicklungsstelle

Wegen

$\left(T f\right)(a; a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(a-a)^n = \frac{f^{(0)}(a)}{0!}(a-a)^0 = f(a)$,

stimmt die Taylorreihe $Tf$ sowie deren Ableitungen an der Entwicklungsstelle $a$ mit der Funktion $f$ bzw. deren Ableitungen überein:

$\left(T f\right)^{(k)}(a; a)=\left(T f^{(k)}\right)(a; a)=f^{(k)}(a)$

Gleichheit mit der Funktion

Im Fall einer analytischen Funktion $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n$ stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein, denn

$\begin{align} f^{(k)}(x)=&\sum_{n=k}^\infty a_n \frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\\ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}=&a_k, \end{align}$

und somit $Tf(x;a)=f(x)$.

Wichtige Taylorreihen

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz $\R$ durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \quad\text{ für alle } x\in\R$.

Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1, d.h. für $0 < x \le 2$ wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb. oben):

$\ln(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots \quad\text{ für }0 < x \le 2$

Da die folgende Reihe schneller konvergiert

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = 2 x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + \cdots \qquad \text{ für } -1<x< 1$,

ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.

Wählt man $x := \frac{y-1}{y+1}$ für ein $y>0$, so ist $-1<x<1$ und $\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(y)$.

Trigonometrische Funktionen

Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 1, 3, 5 und 7

Animation: Die Cosinusfunktion um die Entwicklungsstelle 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung

Für die Entwicklungsstelle $a = 0$ (Maclaurin-Reihen) gilt:

$\begin{align} \sin(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \text{für alle} \ x\\ & = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \pm\cdots\\ \cos(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} & \text{für alle} \ x\\ & = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \mp\cdots\\ \tan(x) & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} & \text{für } |x|<\frac\pi2\\ & = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\\ \sec(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} & \text{für} |x|<\frac{\pi}{2}\\ & = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \cdots\\ \end{align}$

Hierbei ist $B_{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl und $E_{2n}$ die $2n$-te Eulersche Zahl.

$\begin{align} \arcsin x & = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \quad & \text{für} \ \left| x \right| < 1\\ \arccos x & = \frac{\pi}{2} - \arcsin x & \text{für} \ \left| x \right| \le 1\\ \arctan x & = \sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} & \text{für} \ \left| x \right| \le 1 \end{align}$

Produkt von Taylorreihen

Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen $f$ und $g$ kann berechnet werden, wenn die Ableitungen dieser Funktionen an der identischen Entwicklungsstelle $a$ bekannt sind:

$f^{(n)}(a)=u_n\qquad g^{(n)}(a)=v_n$.

Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann

$(f\cdot g)^{(n)}(a)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_kv_{n-k}$.

Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben

$Tf(x;a)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n (x-a)^n\qquad Tg(x;a)=\sum_{n=0}^\infty\beta_n (x-a)^n$,

so ist

$T(f\cdot g)(x;a)=\sum_{n=0}^\infty\gamma_n (x-a)^n$

mit

$\gamma_n = \frac{(f\cdot g)^{(n)}(a)}{n!} = \frac1{n!}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!\,(n-k)!}(k!\,\alpha_n)((n-k)!\,\beta_{n-k})= \sum_{k=0}^n\alpha_k\beta_{n-k}.$

Dies entspricht der Cauchy-Produktformel der beiden Potenzreihen.

Beispiel

Seien $f(x)=\exp(x)$, $g(x)=1+x$ und $a=0$. Dann ist

$\alpha_n=\frac1{n!},\qquad \beta_n=\begin{cases}1 & \text{für } n\in\{0,1\}\\0& \text{für }n>1\end{cases}$

und wir erhalten

$\gamma_n=\alpha_n = 1 \text{ falls } n=0, \quad \gamma_n= \alpha_n+\alpha_{n-1} \text{ falls } n>0,$

in beiden Fällen also

$\gamma_n= \frac{1+n}{n!},$

und somit

$T(f\cdot g)(x;0)=\sum^\infty_{n=0}\frac{1+n}{n!}x^n$.

Diese Taylorentwicklung wäre natürlich auch direkt über die Berechnungen der Ableitungen von $\exp(x)\cdot(1+x)$ möglich:

$\begin{align} (\exp(x)\cdot(1+x))^{(n)}(x)=&\exp(x)\cdot(1+n+x)\\ (\exp(x)\cdot(1+x))^{(n)}(0)=&1+n. \end{align}$

Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen

Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle $a$ einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit $f$ übereinstimmt, gilt nicht für beliebige unendlich oft differenzierbare Funktionen. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.

Konvergenzradius 0

Die Funktion

$f(x) = \int_0^\infty \frac{\mathrm e^{-t}}{1+x^2t} \mathrm dt$

ist auf ganz $\R$ beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in $a = 0$ ist

$T f(x; a) = 1 - x^2 + 2! \, x^4 - 3! \, x^6 + 4! \, x^8 -+ \dots$

und somit nur für $x = 0$ konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).

Eine Funktion, die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle $a = 0$ mit der Ausgangsfunktion überein:

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x \le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x^2} & \text{falls } x > 0. \end{cases}$

Als reelle Funktion ist $f$ beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt $x \leq 0$ (insbesondere für $x = 0$) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit $f$ überein. Daher ist $f$ nicht analytisch. Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle $a > 0$ konvergiert zwischen 0 und $2a$ gegen $f$. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für $x > 0$ korrekt wiedergibt, für $x < 0$ nicht konstant 0 ergibt.

Mehrdimensionale Taylorreihe

Siehe auch: Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

Sei nun im Folgenden $f: \R^d \to \R$ eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion mit Entwicklungsstelle $a\in\R^d$. Dann läßt sich für beliebiges $x\in\R^d$ die Funktionsauswertung $f(x)$ als $F_{x;a}(1)$ darstellen, wobei

$\begin{align} F_{x;a}:\R\to&\R\\ t\mapsto&f(a+t\cdot(x-a)). \end{align}$

Berechnet man nun von $F_{x;a}$ die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt $t_0=0$ und wendet sie bei $t=1$ aus, so erhält man die merhrdimensionale Taylorentwickung von $f$:

$Tf(x;a):=TF_{x;a}(1;0)=\sum_{n=0}^\infty \frac{F_{x;a}^{(n)}(0)}{n!}$

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex-Notationen

$D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_d^{\alpha_d}} \qquad \binom{n}{\alpha}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^d\alpha_i!}$

erhält man ferner, dass

$F_{x;a}^{(n)}(t) = \sum_{|\alpha| = n} \binom{n}{\alpha}(x - a)^\alpha D^\alpha f(a+t(x-a))$

Mit der Schreibweise $\alpha! = \prod_{i=1}^d\alpha_i!$ erhält man für die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl. des Entwicklungspunkt $a$

$Tf(x;a) = \sum_{|\alpha|\ge0}^{}\frac{(x-a)^{\alpha}}{\alpha !} D^{\alpha}f(a)$

in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.

Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:

$\begin{align} T f(x;a)= & \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{\prod_{i=1}^d(x_i-a_i)^{n_i}}{\prod_{i=1}^dn_i!}\,\left(\frac{\partial^{\sum_{i=1}^dn_i}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a) = \\ = & f(a) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) + \\ + & \frac{1}{6} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \dots \end{align}$

Beispiel

Zum Beispiel gilt nach dem Satz von Schwarz für die Taylorreihe einer Funktion $g:\R^2\to\R$, die von $x=(x_1,x_2)$ abhängt, an der Entwicklungsstelle $a=(a_1, a_2)$:

$\begin{align} T g(x; a) = &g(a) + g_{x_1}(a)\cdot(x_1-a_1)+g_{x_2}(a)\cdot(x_2-a_2) + \\ &\frac12\left[ (x_1-a_1)^2 g_{x_1x_1}(a) + 2(x_1-a_1)(x_2-a_2)\,g_{x_1x_2}(a) + (x_2-a_2)^2 g_{x_2x_2}(a) \right] + \dots \end{align}$

Siehe auch

• Linearisierung mittels Näherungswerten
• Ausgleichsrechnung

Weblinks

• Visualisierung der Taylorreihen-Entwicklung einer Sinusfunktion - Der Grad der Näherung und die Entwicklungsstelle kann dabei selbst bestimmt werden.
• Taylor Series auf MathWorld (englisch)
• Real and Complex Taylor Series auf PlanetMath (englisch)
•  Wikibooks: Taylorreihe mit Konvergenzradius Null – Lern- und Lehrmaterialien