Teilersumme

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Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition 1: Summe aller Teiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien alle Teiler der natürlichen Zahl , dann nennt man die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

Definition 2: Summe der echten Teiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ist die Summe der Teiler von ohne die Zahl selbst und wir bezeichnen diese Summe mit .

Beispiel:

Offensichtlich gilt die Beziehung:

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine natürliche Zahl heißt

defizient oder teilerarm, wenn ,
abundant oder teilerreich, wenn ,
vollkommen, wenn .

Beispiele:

, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
, d. h. 12 ist abundant.
, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Primzahl. Dann gilt:

Beweis: Da eine Primzahl ist, sind 1 und die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Primzahl. Dann gilt:

Beweis: Da eine Primzahl ist, hat nur die folgenden Teiler: . Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

Beweis: Die Zahl besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, , und . Daraus folgt:

Beispiel:

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien verschiedene Primzahlen und natürliche Zahlen. Ferner sei . Dann gilt:

Satz von Thabit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl seien und .

Wenn , und Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen und befreundet, d. h. und .

Beweis:

σ*(a) = σ(a) - a
= σ(2n·x·y) - a
= (2n+1-1)(x+1)(y+1) - a (Satz 4)
= (2n+1-1)(3·2n)(3·2n-1) - 2n(3·2n-1)(3·2n-1-1)
= (2n+1-1)·9·22n-1 - 2n(9·22n-1-6·2n-1-3·2n-1+1)
= 2·2n·9·22n-1-9·2n·2n-1-2n(9·22n-1-9·2n-1+1)
= 2n(18·22n-1-9·2n-1-9·22n-1+9·2n-1-1)
= 2n(9·22n-1-1)
= 2n·z
= b

Analog zeigt man .

Teilersumme als endliche Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von explizit Bezug genommen wird:

Beweis: Die Funktion

wird 1, wenn ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn ein Teiler von ist. Dann ist aber

Nur in diesem Fall wird , wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt mit und summiert das Produkt über alle Werte bis , so entsteht nur dann ein Beitrag zur Summe, wenn ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Divisorfunktion

deren Spezialfall die einfache Teilersumme ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]