Telegraphengleichung

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Dieser Artikel befasst sich mit der Telegraphengleichung der Elektrodynamik. Die (speziellere) Telegraphengleichung für die Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer Leitung wird unter Leitungsgleichung behandelt.

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei hyperbolisch, bei elliptisch und bei parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form

.

Dabei ist der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also . Die Ableitung nach x steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt einem Vektor kann auch ein Skalar stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

Der Vorfaktor hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

und

.

wobei (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung U und dem Strom I in einer Doppelleitung mit Induktivität L und Kapazität C (Pro Längeneinheit angegeben und im Allgemeinen ortsabhängig):

bzw.

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ( wie im freien Raum).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]