Tensorprodukt

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Dieser Artikel behandelt das Tensorprodukt von Vektorräumen und von linearen Abbildungen. Für das Tensorprodukt von Tensoren (Tensormultiplikation) siehe Tensor. Eine allgemeinere Konstruktion ist das Tensorprodukt von Moduln.

Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

(für einen Vektorraum mit Dualraum , oft ) als Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ .

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt von Vektorräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper , so ist das Tensorprodukt

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist eine Basis von und eine Basis von , dann ist ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann. Die Dimension von ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von und . Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar entspricht, wird als notiert. Das Symbol hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Ein beliebiges Element des Tensorprodukts hat dann die Gestalt

wobei und endliche Teilmengen der Indexmengen und sind und für jedes und .

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus und definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren und gerade der Basisvektor, der mit bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren kann nun durch bilineare Fortsetzung erhalten werden,

und

mit endlichen Teilmengen wird das Produkt

zugeordnet.

Endlichdimensionaler Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für endlichdimensionale Vektorräume mit Basis und mit Basis kann das Tensorprodukt direkt als Raum von Matrizen konstruiert werden. Die Zeilen werden mit dem Basisindex von nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex von . Das Tensorprodukt zweier Vektoren , ist diejenige Matrix, deren Eintrag an der Stelle die -te Koordinate von bezüglich multipliziert mit der -ten Koordinate von bezüglich ist. In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten folgende Rechenregeln für alle und sowie :

(1)
(2)
(3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung ; ist -bilinear. Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für gehören die Tensoren

und

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume und identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren und im Allgemeinen verschieden.

Tensorprodukt linearer Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien

zwei lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Ihr Tensorprodukt ist die durch

definierte lineare Abbildung

.

Sind endlichdimensional, dann kann man nach Wahl von Basen für , für , für und für die linearen Abbildungen und durch ihre Abbildungsmatrizen

beschreiben. Die lineare Abbildung wird dann bzgl. der Basen und von und durch das Kronecker-Produkt

der Matrizen und beschrieben. Sind beispielsweise mit der Standardbasis und und gegeben durch die Matrizen

und

dann ist gegeben durch das Kronecker-Produkt

Universaldefinition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bisher wurde die Frage umgangen, welcher Natur denn der mit bezeichnete Vektorraum im allgemeinen Fall ist. Die bisher angegebenen Forderungen an diesen Vektorraum können kondensiert und in mathematischer Hinsicht unzweideutig in Form einer Universaldefinition angegeben werden.

Als Tensorprodukt der -Vektorräume und , wird jeder -Vektorraum bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung in einen -Vektorraum faktorisiert linear eindeutig über . Dies heißt exakter, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren gilt:
also

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig, d. h. für jede andere bilineare Abbildung mit der universellen Eigenschaft gibt es einen Isomorphismus , sodass gilt. Es wird und notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als geschrieben werden, oft verzichtet man auf die Vergabe unterschiedlicher Bezeichnungen, da der Definitionsbereich aus dem Argument ablesbar ist.

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege. Einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.

Natürliche Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt, dass der Vektorraum der bilinearen Abbildungen kanonisch isomorph zum Vektorraum der linearen Abbildungen ist:

Es sei eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

bilinear.

Weiterhin gibt es einen natürlichen Monomorphismus , definiert durch . Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn oder endlich-dimensional ist.[1]

Durch Currying erhält man außerdem einen Isomorphismus .

Für endlichdimensionale Vektorräume und gilt also

wobei z. B. der Dualraum von ist und der Isomorphismus verwendet wird. Allgemein ist , definiert durch , ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Ersetzt man durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation mit dem Bidualraum, so erhält man einen Isomorphismus , definiert durch . Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlich-dimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.[2]

Tensorprodukt und Bilinearformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt . Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von und also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist der folgende: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

für drei -Vektorräume , , , die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

die Räume

bzw.

die mit Hilfe von

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus eine Bilinearform

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus eine Bilinearform

erhalten kann.

Erweiterung der Skalare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über K und L ein Erweiterungskörper von K, so kann man das Tensorprodukt

bilden, indem man auch L als K-Vektorraum auffasst; dies wird durch symbolisiert. VL wird zu einem Vektorraum über L, wenn man

setzt. Die Dimension von VL als L-Vektorraum ist gleich der Dimension von V als K-Vektorraum: Ist B eine K-Basis von V, so bildet die Menge

eine L-Basis von VL.

Tensorprodukt von Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien

Darstellungen einer Gruppe auf Vektorräumen über demselben Körper, dann definiert

eine Darstellung

auf dem Tensorprodukt.

Tensorprodukt von Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Tensorprodukt von Moduln

Der Begriff des Tensorprodukts lässt sich von dem des Tensorprodukts von Vektorräumen über einem Körper auf den des Tensorprodukts von Moduln über einem (beliebigen, auch nicht-kommutativen) Ring mit 1 verallgemeinern.

Um interessante Objekte auch im nicht-kommutativen Fall zu erhalten, muss die Bedingung (3) geringfügig aufgeweicht werden.

Struktur der Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elementare Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein elementarer Tensor (auch reiner oder einfacher Tensor) im Tensorprodukt ist ein Element von der Form , wobei .

Allgemeine Gestalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor kein elementarer Tensor im Tensorprodukt , wobei die Standardbasisvektoren sind (dagegen durchaus).

Ist R ein kommutativer Ring und M ein von einem Element erzeugter R-Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts ein elementarer Tensor für jeden beliebigen R-Modul N.

Weiterführende Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Algebra:

In der Differentialgeometrie:

In der Funktionalanalysis

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gottfried Köthe: Topological Vector spaces I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 159). 2. Auflage. Springer, New York 1969, ISBN 0-387-04509-0, § 9. The algebraic dual space. Tensor products, 7. Linear mappings of tensor products, S. 80 (deutsch: Topologische Lineare Räume I. Übersetzt von D. J. H. Garling).
  2. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 4. Relations between tensor products and homomorphism modules. 2., S. 271 (Internet Archive).