Tensorprodukt

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Dieser Artikel behandelt das Tensorprodukt von Vektorräumen und von linearen Abbildungen. Für das Tensorprodukt von Tensoren (Tensormultiplikation) siehe Tensor. Eine allgemeinere Konstruktion ist das Tensorprodukt von Moduln.

Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts


\underbrace{V\otimes\dots\otimes V}_{r\text{ Faktoren}}
\otimes
\underbrace{V^*\otimes\dots\otimes V^*}_{s\text{ Faktoren}}

(für einen Vektorraum V mit Dualraum V^*, oft V=\R^3) als Tensoren, kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ (r,s).

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sind V und W zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper K, so ist das Tensorprodukt

 V\otimes W

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist E=\{e_i\mid i\in I\} eine Basis von V und F=\{f_j\mid j\in J\} eine Basis von W, dann ist V\otimes W ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

E\times F=\{(e_i,f_j)\mid i\in I, j\in J\}

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann. Die Dimension von V\otimes W ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von V und W. Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar (e_i,f_j) entspricht, wird als e_i\otimes f_j notiert. Das Symbol \otimes hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Ein beliebiges Element des Tensorprodukts V \otimes W hat dann die Gestalt

\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} c_{ij}\;(e_i\otimes f_j),

wobei I_0 \subset I und J_0 \subset J endliche Teilmengen der Indexmengen I und J sind und c_{ij} \in K für jedes i \in I_0 und j \in J_0.

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus V und W definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren e_i\in E\subset V und f_j\in F\subset W gerade der Basisvektor, der mit e_i\otimes f_j\in V\otimes W bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren kann nun durch bilineare Fortsetzung erhalten werden,

v=\sum_{i\in I_0}a_ie_i\in V

und

w=\sum_{j\in J_0}b_jf_j\in W

mit endlichen Teilmengen I_0\subset I,\;J_0\subset J wird das Produkt

v\otimes w=\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} a_ib_j\;(e_i\otimes f_j)

zugeordnet.

Endlichdimensionaler Fall[Bearbeiten]

Für endlichdimensionale Vektorräume V mit Basis B = (e_1, \dotsc, e_m) und W mit Basis C = (f_1, \dotsc, f_n) kann das Tensorprodukt direkt als Raum von Matrizen konstruiert werden. Die Zeilen werden mit dem Basisindex I=\{1,\dots,m\} von V nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex J=\{1,\dots,n\} von W. Das Tensorprodukt zweier Vektoren v\in V, w\in W ist diejenige Matrix, deren Eintrag an der Stelle (i,j) die i-te Koordinate von v bezüglich B multipliziert mit der j-ten Koordinate von w bezüglich C ist. In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten folgende Rechenregeln für alle v \in V, w \in W und \lambda \in K:

 (v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w (1)
 v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w'' (2)
 (\lambda v)\otimes w = \lambda\cdot(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w) (3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung \otimes \colon V \times W \to V \otimes W; (v,w) \mapsto v \otimes w ist K-bilinear. Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für v \in V, w \in W gehören die Vektoren

 v\otimes w \in V\otimes W und w\otimes v \in W\otimes V

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume V und W identisch sind; und selbst dann muss keine Gleichheit gelten.

Tensorprodukt linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Es seien

f\colon V_1\to W_1, g\colon V_2\to W_2

zwei lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Ihr Tensorprodukt f\otimes g ist die durch

\forall v\in V_1,\,w\in V_2: [f\otimes g](v\otimes w):=f(v)\otimes g(w)

definierte lineare Abbildung

f\otimes g\colon V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2.

Sind V_1,W_1,V_2,W_2 endlichdimensional, dann kann man nach Wahl von Basen (e_1,e_2,\ldots, e_n) für V_1, (e_1^\prime,e_2^\prime,\ldots, e_m^\prime) für W_1, (f_1,f_2,\ldots, f_r) für V_2 und (f_1^\prime,f_2^\prime,\ldots, f_p^\prime) für W_2 die linearen Abbildungen f und g durch ihre Abbildungsmatrizen

A = M^{V_1}_{W_1}(f), B = M^{V_2}_{W_2}(g)

beschreiben. Die lineare Abbildung f\otimes g wird dann bzgl. der Basen (e_1\otimes f_1,e_1\otimes f_2,\ldots,e_n\otimes f_r) und (e_1^\prime\otimes f_1^\prime,e_1^\prime\otimes f_2^\prime,\ldots,e_m^\prime\otimes f_p^\prime) von V_1\otimes V_2 und W_1\otimes W_2 durch das Kronecker-Produkt

A\otimes B

der Matrizen A und B beschrieben. Sind beispielsweise V_1=W_1=V_2=W_2=\R^2 mit der Standardbasis und f und g gegeben durch die Matrizen

A=\begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22} \\
  \end{bmatrix} und B=\begin{bmatrix}
    b_{11} & b_{12} \\
    b_{21} & b_{22} \\
  \end{bmatrix},

dann ist f\otimes g gegeben durch das Kronecker-Produkt


A\otimes B=  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22} \\
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix}
    b_{11} & b_{12} \\
    b_{21} & b_{22} \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    a_{11} \begin{bmatrix}
              b_{11} & b_{12} \\
              b_{21} & b_{22} \\
            \end{bmatrix} & a_{12} \begin{bmatrix}
                                      b_{11} & b_{12} \\
                                      b_{21} & b_{22} \\
                                    \end{bmatrix} \\
     & \\
    a_{21} \begin{bmatrix}
              b_{11} & b_{12} \\
              b_{21} & b_{22} \\
            \end{bmatrix} & a_{22} \begin{bmatrix}
                                      b_{11} & b_{12} \\
                                      b_{21} & b_{22} \\
                                    \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \\
    a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} \\
    a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\
    a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \\
  \end{bmatrix}.

Universaldefinition[Bearbeiten]

Bisher wurde die Frage umgangen, welcher Natur denn der mit V\otimes W bezeichnete Vektorraum im allgemeinen Fall ist. Die bisher angegebenen Forderungen an diesen Vektorraum können kondensiert und in mathematischer Hinsicht unzweideutig in Form einer Universaldefinition angegeben werden.

Als Tensorprodukt der K-Vektorräume V und W, wird jeder K-Vektorraum Z bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung \phi\colon V\times W\to Z gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung B\colon V\times W\to X in einen K-Vektorraum X faktorisiert linear eindeutig über \phi. Dies heißt exakter, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \tilde B\colon Z\to X gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren gilt:
B(v,w)=\tilde B(\phi(v,w))

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig, d. h. für jede andere bilineare Abbildung \phi'\colon V\times W\to Z' mit der universellen Eigenschaft gibt es einen Isomorphismus k\colon Z\to Z', sodass \phi'=k\circ \phi gilt. Es wird Z=V \otimes W und \phi(v,w)=v \otimes w notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als B(v,w)= \tilde B(v \otimes w) geschrieben werden, oft verzichtet man auf die Vergabe unterschiedlicher Bezeichnungen, da der Definitionsbereich aus dem Argument ablesbar ist.

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege. Einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.

Natürliche Homomorphismen[Bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt, dass der Vektorraum B(V,W;X) der bilinearen Abbildungen V\times W\to X kanonisch isomorph zum Vektorraum L(V\otimes W,X) der linearen Abbildungen V\otimes W\to X ist:

Es sei B\colon V \times W \to X eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

V\otimes W\to X,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

\lambda\colon V\otimes W\to X

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

 V\times W\to X,\qquad (v,w)\mapsto \lambda(v\otimes w)

bilinear.

Weiterhin gibt es einen natürlichen Monomorphismus L(V,X)\otimes L(W,Y)\to L(V\otimes W,X\otimes Y), definiert durch (f\otimes g)(v\otimes w):=f(v)\otimes g(w). Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V oder W endlich-dimensional ist.[1]

Durch Currying erhält man außerdem einen Isomorphismus B(V,W;X)\cong L(V,L(W,X)).

Für endlichdimensionale Vektorräume und X=Y=K gilt also

V^*\otimes W^*\cong(V\otimes W)^*\cong B(V,W;K)\cong L(V,W^*),

wobei z. B. V^* der Dualraum von V ist und der Isomorphismus K\otimes K\cong K verwendet wird. Allgemein ist K\otimes V\to V, definiert durch c\otimes v\mapsto cv, ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Ersetzt man W durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation W\cong W^{**} mit dem Bidualraum, so erhält man einen Isomorphismus V^*\otimes W\to L(V,W), definiert durch (f\otimes w)(v):=f(v)w. Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlich-dimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.[2]

Tensorprodukt und Bilinearformen[Bearbeiten]

Aus der Universaldefinition folgt (V\otimes W)^*\cong B(V,W;K). Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von V und W also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen V\times W\to K definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist der folgende: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

U\times V\times W\to K

für drei K-Vektorräume U, V, W, die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

U\otimes V\otimes W\to K,

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

U\otimes V\otimes W

die Räume

U\otimes(V\otimes W) bzw. (U\otimes V)\otimes W,

die mit Hilfe von

u\otimes(v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

U \times V\times W\to K

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus U eine Bilinearform

V\times W\to K,

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus W eine Bilinearform

U\times V\to K

erhalten kann.

Erweiterung der Skalare[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über K und L ein Erweiterungskörper von K, so kann man das Tensorprodukt

V_L:=V\otimes_KL

bilden, indem man auch L als K-Vektorraum auffasst; dies wird durch \otimes_K symbolisiert. VL wird zu einem Vektorraum über L, wenn man

\lambda\cdot(v\otimes\mu):=v\otimes(\lambda\mu)\qquad\mathrm{f\ddot ur}\ v\in V,\,\lambda,\mu\in L

setzt. Die Dimension von VL als L-Vektorraum ist gleich der Dimension von V als K-Vektorraum: Ist {ei} eine K-Basis von V, so bildet die Menge

\{e_i\otimes 1\}

eine L-Basis von VL.

Tensorprodukt von Darstellungen[Bearbeiten]

Es seien

\rho_i:G\to GL(V_i), i=1,\ldots,n

Darstellungen einer Gruppe auf Vektorräumen über demselben Körper, dann definiert

\forall g\in G,\,v_i\in V_i: \rho_1\otimes\ldots\otimes\rho_n(g)(v_1\otimes\ldots\otimes v_n)=\rho_1(g)v_1\otimes\ldots\otimes \rho_n(g)v_n

eine Darstellung

\rho_1\otimes\ldots\otimes \rho_n:G\to GL(V_1\otimes\ldots\otimes V_n)

auf dem Tensorprodukt.

Tensorprodukt von Moduln[Bearbeiten]

Hauptartikel: Tensorprodukt von Moduln

Der Begriff des Tensorprodukts lässt sich von dem des Tensorprodukts von Vektorräumen über einem Körper auf den des Tensorprodukts von Moduln über einem (beliebigen, auch nicht-kommutativen) Ring mit 1 verallgemeinern.

Um interessante Objekte auch im nicht-kommutativen Fall zu erhalten, muss die Bedingung (3) geringfügig aufgeweicht werden.

Struktur der Elemente[Bearbeiten]

Elementare Tensoren[Bearbeiten]

Ein elementarer Tensor bzw. reiner Tensor im Tensorprodukt  M \otimes_R N ist ein Element von der Form  m \otimes n , wobei  m\in M,\,\, n\in N .

Allgemeine Gestalt[Bearbeiten]

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor e_1\otimes e_2 - e_2\otimes e_1 kein elementarer Tensor im Tensorprodukt \R^2\otimes_{\R}\R^2, wobei e_i die Standardbasisvektoren sind (dagegen e_1\otimes e_1 - e_1\otimes e_2 - e_2\otimes e_1 + e_2\otimes e_2 = (e_1- e_2) \otimes (e_1- e_2) durchaus).

Ist R ein kommutativer Ring und M ein von einem Element erzeugter R-Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts  M \otimes_R N ein elementarer Tensor für jeden beliebigen R-Modul N.

Weiterführende Begriffe[Bearbeiten]

In der Algebra:

In der Differentialgeometrie:

In der Funktionalanalysis

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gottfried Köthe: Topological Vector spaces I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 159). 2. Auflage. Springer, New York 1969 (Originaltitel: Topologische Lineare Räume I, übersetzt von D. J. H. Garling), ISBN 0387045090, § 9. The algebraic dual space. Tensor products, 7. Linear mappings of tensor products, S. 80.
  2.  Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3540642439, § 4. Relations between tensor products and homomorphism modules. 2., S. 271 (Internet Archive).