Ternärsystem

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Das Ternärsystem, auch Dreiersystem genannt, ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3. Es kommt in zwei Spielarten vor, als gewöhnliches Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2 sowie als balanciertes Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und −1.

Eine ternäre Ziffer wird auch als Trit (in Analogie zum Bit) und entsprechende eine Gruppe aus sechs Trits als Tryte. Im Jahr 1958 wurde in der Sowjetunion der Setun-Computer entwickelt, der mit ternären Zahlen rechnete.[1]

Gewöhnlich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zahl wird im gewöhnlichen Ternärsystem durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und 2 dargestellt. Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen, besonders mit dem Dezimalsystem auftreten können, wird eine Ternärzahl durch eine angehängte tiefgestellte 3 gekennzeichnet. Die einer Ternärzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden:

Löst man die Potenzen auf, dann sieht die Gleichung so aus:

Die entsprechende, allgemeine Formel lautet

.

Hierbei ist die Ternärziffer an der Stelle (also entweder 0, 1 oder 2), die Anzahl der Nachkommastellen und die Nummer der höchsten Stelle. ist dann das Ergebnis, also der Wert der Ternärzahl. Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel, nur eben anders dargestellt.

Weitere Beispiele von Zahlen im Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 123 = 5
  • 1123 = 14
  • 1213 = 16

Man kann Zahlen im gewöhnlichen ternären System, wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch, zum Verständnis gut in einer Tabelle darstellen. Die Ziffer in einem Feld gibt an, wie oft die Zahl des Spaltennamens gezählt wird. Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte "3" eine "2", so muss man "3+3" oder "2∙3" rechnen, bei "1" unter "27" einfach "1∙27". Am Ende zählt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen ("2∙3", "1∙27") zusammen und erhält die dezimale Zahl. Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen (führende Nullen), werden in der üblichen Schreibweise (Spalte zusammengesetzte Ternärzahl) nicht aufgeschrieben.

Zahl in Dezimal 27 (33) 9 (32) 3 (31) 1 (30) zusammengesetzte Ternärzahl
32 1 0 1 2 1012
46 1 2 0 1 1201
3 0 0 1 0 10
7 0 0 2 1 21
5 0 0 1 2 12
14 0 1 1 2 112

Balanciert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zahl im balancierten Ternärsystem wird durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und −1 dargestellt. Die Ziffer −1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben, eine andere Wiedergabe ist ein Buchstabe T, oder auch eine vertikal gespiegelte Ziffer 1. Falls Verwechslungen auftreten können, wird eine balancierte Ternärzahl durch ein angehängtes tiefgestelltes "3bal" gekennzeichnet.

Beispiele für Zahlen im balancierten Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 111 3bal = 5
  • 110 3bal = 6

Im balancierten Ternärsystem braucht man kein Vorzeichen. Um zur negativen Zahl überzugehen, vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1.

  • 1113bal = −5

Auch hier kann man, wie für das gewöhnliche Ternärsystem gezeigt, die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen:

110 3bal = 1·32 + (−1)·31 + 0·30 = 1·9 + (−1)·3 + 0·1 = 6dez.

Genau die Zahlen, die eine ganze Zahl plus 1/2 mal eine Potenz von 3 sind, haben zwei Darstellungen, so z. B.

0,1 3bal = 1,1 3bal = 1/2,

dabei bedeutet der Überstrich, dass die Ziffern darunter (die Periode) bis ins Unendliche zu wiederholen sind.

Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binärsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ternärsystem
Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000
Ternär 000 001 002 010 011 012 020 021 022
Ternär (balanciert) 000 001 011 010 011 111 110 111 101
Dezimal 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Binär 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001
Ternär 100 101 102 110 111 112 120 121 122
Ternär (balanciert) 100 101 111 110 111 1111 1110 1111 1101
Dezimal 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Binär 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011
Ternär 200 201 202 210 211 212 220 221 222 1000
Ternär (balanciert) 1100 1101 1111 1110 1111 1011 1010 1011 1001 1000

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Nikolay Petrovich Brusentsov, José Ramil Alvarez: Ternary Computers: The Setun and the Setun 70. In: J. Impagliazzo, E. Proydakov (Hrsg.): SoRuCom 2006, IFIP AICT 357. IFIP International Federation for Information Processing 2011, S. 74–80 (abgerufen am 9. Mai 2016).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]