Theil-Index

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Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Definition[Bearbeiten]

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Für n Personen mit Einkommen y_1, \dots, y_n ist das Durchschnitteinkommen \mu= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i und es werden Theil-Indices T_L, T_T, T_S unter der Konvention 0 \cdot \ln{0} = 0 wie folgt definiert:


T_T=T_{\alpha=1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\mu} \cdot \ln{\frac{y_i}{\mu}} \right)

T_L=T_{\alpha=0}=MLD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \ln{\frac{\mu}{y_i}} \right)

T_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{2}\left(\frac{y_i}{\mu} - 1\right)\ln(y_i) \right]

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

T_L(y)=T_T\left(\frac{1}{y}\right)
T_S=\frac{T_T+T_L}{2}
0\leq T_L
T_L=0 \quad \Leftrightarrow \quad T_T=0\quad \Leftrightarrow \quad T_S=0 \quad \Leftrightarrow \quad y_i=\mu \quad \text{für alle } i
T_T=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_i=n\mu \quad \text{für ein } i
T_S(y)=T_S\left(\frac{1}{y}\right)

Beziehungen/Ableitungen[Bearbeiten]

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist S das Shannons-Maß, so gilt


T=\ln(N)-S
.

e^T ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß \left(1-e^T\right).

Zerlegbarkeit[Bearbeiten]

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in m Untergruppen aufgeteilt werden kann und s_k der Einkommensanteil einer Untergruppe k am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt T_k die Ungleichverteilung in der Untergruppe und \overline{x}_k ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe k. Der Theil-Index T_k ist dann


T = \sum_{k=1}^m s_k T_k + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}
.

So beschrieben, ist der Theil-Index T_k dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Ein populäreres Maß ist der Gini-Koeffizient, aber in den Reichtums- und Armutsberichten des Bundes wird auch der Theil-Index neben dem Gini-Koeffizienten verwendet. Der Gini-Koeffizient ist nicht so zerlegbar wie der Theil-Koeffizient.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]