Thermodynamischer Grenzfall

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Der Thermodynamische Grenzfall oder Thermodynamischer Limes ist ein zentraler Begriff aus der Statistischen Physik, der die Verbindung zwischen Statistischer Mechanik und Thermodynamik herstellt. Es handelt sich dabei um das Grenzverhalten der Eigenschaften eines im Rahmen der Statistischen Physik beschriebenen Systems, wenn dieses System stark vergrößert wird. Der Thermodynamische Limes lässt die Teilchenzahl N sowie das Volumen V so gegen unendlich gehen, dass die Dichte N/V konstant bleibt[1][2]:

N \to \infty, V \to \infty , N/V =\text{const}

Die wichtigste Eigenschaft des Thermodynamischen Grenzfalls ist in vielen Fällen das Verschwinden der statistischen Fluktuationen von Messgrößen. Dies erlaubt es, von einem System mit thermodynamischen Zustandsgrößen (und Werten für diese) zu sprechen. Die Thermodynamik kann somit als Thermodynamischer Grenzfall der Statistischen Mechanik verstanden werden.

Beispiel: Ideales Gas[Bearbeiten]

Im kanonischen Ensemble eines klassischen einatomigen idealen Gases unterliegt die Energie eines einzelnen Gasatoms einer Zufallsverteilung mit Mittelwert \langle E_1 \rangle = 3/2 \, k_{\mathrm B}T und Varianz \langle E_1{}^2 \rangle - \langle E_1 \rangle ^2 = 3/2 \, \left(k_{\mathrm B}T \right)^2, wobei k_{\mathrm B} und T für Boltzmann-Konstante und Temperatur stehen.[3] Da die Atome des idealen Gases voneinander unabhängig sind, ergeben sich Mittelwert und Varianz eines Systems aus N Gasatomen nach dem zentralen Grenzwertsatz als jeweils das N-fache des Einteilchenmittelwerts und der Einteilchenvarianz. Im thermodynamischen Grenzwert verschwindet die relative Breite der Energieverteilung (Quotient aus Standardabweichung und Erwartungswert):

 \lim_{N\to \infty} \frac{ \sqrt{ N \left(\langle E_1{}^2 \rangle - \langle E_1 \rangle ^2 \right) } }{ N \langle E_1 \rangle } = 0

Aus diesem Verschwinden der (relativen) statistischen Unsicherheit der Energie folgt die aus der Thermodynamik des Idealen Gases bekannte Relation

 E = \frac 32 Nk_{\mathrm B}T,

in der die Gesamtenergie E des N-Teilchen-Systems nicht mehr eine Zufallsvariable, sondern eine Zustandsgröße mit eindeutigem Wert ist.

Einordnung in die Physik[Bearbeiten]

Der Thermodynamische Grenzfall ist innerhalb der Statistischen Physik von prinzipieller Bedeutung, da seine Existenz die Anwendbarkeit der Thermodynamik sichert. Außerhalb der Statistischen Physik wird die Anwendbarkeit der Thermodynamik, und damit implizit die Existenz des Thermodynamischen Grenzfalls, oft schlicht angenommen oder hat sich in der Praxis als hinreichend gut erfüllt erwiesen. Trotz seiner wichtigen Rolle in der Statistischen Physik spielt der Thermodynamische Grenzfall daher in den meisten Gebieten der Physik (oder in anderen Wissenschaften) praktisch keine Rolle.

Phasenübergänge[Bearbeiten]

In der Theorie der Statistischen Physik der Phasenübergänge gilt: Phasenübergänge existieren nur im Thermodynamischen Grenzfall; endlich große Systeme können keine Phasenübergänge haben.[4] In der Praxis ist das Verhalten von Vielteilchensystemen oft bereits so ähnlich dem Verhalten im Thermodynamischen Grenzfall, dass Unterschiede zu diesem weit unterhalb der experimentellen Messgrenzen liegen. Das Verhalten eines solchen Systems ist also nicht unterscheidbar vom Grenzverhalten. Man spricht daher in solchen Fällen trotz Endlichkeit des Systems von einem Phasenübergang.

N-Teilchen-Computersimulationen[Bearbeiten]

Im Gegensatz zu experimentellen Systemen werden Computersimulationen aufgrund technischer Einschränkungen (wie Speicherplatz und Rechenzeit) oft für Systemgrößen durchgeführt, deren Verhalten sich noch deutlich vom Thermodynamischen Grenzfall unterscheidet. So stellt sich im Zusammenhang mit der computerbasierten Analyse von Phasenübergängen das Problem, dass existierende Phasenübergänge in einer Simulation möglicherweise nicht zu erkennen sind. Umgekehrt stellt sich das Problem, dass in einer Simulation gesehene Anzeichen für einen Phasenübergang möglicherweise im Thermodynamischen Grenzfall nicht Bestand haben - der Phasenübergang kann beispielsweise bei einer anderen Temperatur liegen oder gar nicht existieren.

In von der benötigten Rechnerleistung her nicht zu aufwändigen Simulationen wird daher oft Finite-size Scaling[5][6] (deutsch etwa „skalieren endlicher Systemgrößen“) verwendet, indem äquivalente Systeme unterschiedlicher (aber insgesamt noch geringer) Größe simuliert werden und anschließend aus den Unterschieden zwischen den Systemgrößen auf das Verhalten des Thermodynamischen Grenzwerts geschlossen wird.

Quellen und Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik, Wolfgang Nolting, Springer DE, 2007, S. 373, Google Books
  2. Introduction to Statistical Physics, Kerson Huang, Taylor & Francis, 2001, S.3, Google Books
  3. Diese Ausdrücke lassen sich aus der kanonischen Zustandssumme des entsprechenden einatomigen Gases berechnen.
  4. Nigel Goldenfeld: Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group. Westview Press, Advanced Book Program, 1992, ISBN 0-201-55409-7.
  5. G. Orkoulas, Michael E. Fisher, A. Z. Panagiotopoulos: Precise simulation of criticality in asymmetric fluids. In: Physical Review. E 63.5 (2001), S. 051507.
  6. Kurt Binder: Finite size scaling analysis of Ising model block distribution functions. In: Zeitschrift für Physik. B Condensed Matter 43.2 (1981), S. 119–140.