Tonnelierter Raum

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Tonnelierte Räume sind spezielle lokalkonvexe Vektorräume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt. Diese Räume lassen sich durch ihre Nullumgebungsbasen charakterisieren.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Tonne ist eine Teilmenge T eines lokalkonvexen K-Vektorraums E mit folgenden drei Eigenschaften

  • T ist absolutkonvex, d.h. für und mit gilt .
  • T ist abgeschlossen in der Topologie auf E.
  • T ist absorbierend, d.h. zu jedem gibt es ein mit .

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Raum eine Nullumgebungsbasis aus Tonnen besitzt. Ist umgekehrt jede Tonne eine Nullumgebung, so nennt man den Raum tonneliert. Diese Bezeichnung geht auf Bourbaki zurück (französisch tonnelé, englisch barrelled).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Fréchet-Raum (insbesondere also jeder Banachraum) ist tonneliert. Ist nämlich T eine Tonne im Fréchet-Raum E, so gilt , da T absorbierend ist. Weil T abgeschlossen ist, folgt aus dem Satz von Baire, dass ein nT und damit T einen inneren Punkt hat. Aus der Absolutkonvexheit von T ergibt sich nun leicht, dass T eine Nullumgebung ist.
  • Ist E ein Fréchet-Raum ungleich {0}, so ist mit der Produkttopologie ein Beispiel für einen tonnelierten Raum, der nicht Fréchet-Raum ist.

Vererbungseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quotientenräume nach abgeschlossenen Teilräumen, Produkträume und induktive Limiten tonnelierter Räume sind wieder tonneliert.

Die Tonneliertheit vererbt sich im Allgemeinen nicht auf abgeschlossene Unterräume oder projektive Limiten.

Der Satz von Banach-Steinhaus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Menge B in einem lokalkonvexen Raum E heißt bekanntlich beschränkt, wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d.h. zu jeder Nullumgebung U von E gibt es ein mit . Eine Familie stetiger linearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Vektorräumen E und F heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jeder Nullumgebung V in F eine Nullumgebung U in E gibt, so dass für alle . Der folgende Satz kennzeichnet die tonnelierten Räume als diejenigen, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

  • E ist ein tonnelierter Raum.
  • Ist F ein weiterer lokalkonvexer Raum und eine Familie stetiger linearer Operatoren , die punktweise beschränkt ist (d.h. für jedes ist beschränkt), so ist gleichgradig stetig.

Beziehung zur Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine Halbnorm auf dem Dualraum , indem man setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen , wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei normierten Räumen. Wie dort hat man eine natürliche Einbettung , und wie üblich identifiziert man E mit J(E), so dass E als Unterraum des Biduals aufgefasst werden kann. Ist J surjektiv, so nennt man E halbreflexiv. Dann stimmen E und zwar als Mengen überein, aber im Allgemeinen sind die lokalkonvexen Topologien auf E und dem Bidual verschieden. Stimmen auch die Topologien überein, so nennt man E reflexiv. Die Tonneliertheit ist genau die Eigenschaft, die einem halbreflexiven Raum zur Reflexivität fehlt, denn es gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

  • E ist reflexiv.
  • E ist halbreflexiv und tonneliert.

Quasitonnelierte Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nennt eine Menge T in einem lokalkonvexen Raum bornivor, wenn sie jede beschränkte Menge absorbiert, d.h. wenn es zu jeder beschränkten Menge B ein mit gibt. (Zur Wortherkunft vergleiche carnivor oder herbivor.)

Ein Raum heißt quasitonneliert, wenn jede bornivore Tonne eine Nullumgebung ist. Offensichtlich handelt es sich um eine Abschwächung der Tonneliertheit. Bornologische Räume sind quasitonneliert. Folgenvollständige quasitonnelierte Räume sind bereits tonneliert, wie aus dem Satz von Banach-Mackey folgt.

Die Quasitonneliertheit ist bei obiger Charakterisierung der Reflexivität ausreichend, denn für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

  • E ist reflexiv
  • E ist halbreflexiv und tonneliert.
  • E ist halbreflexiv und quasitonneliert.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
  • Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium 62 Aufbaukurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.