Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

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Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.

Heutzutage werden Tönhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).

Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Der geordnete Tonraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedem Ton kann man eine Frequenz zuordnen.

Beispiel: c’ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e’ die Frequenz 330 Hz, g’ die Frequenz 396 Hz und c’’ die Frequenz 528 Hz.[1]

Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung.

Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c.
Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.

Der geordnete additive Intervallraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Je zwei Tönen und (mit den Frequenzen und ) ist eindeutig ein Intervall zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis ).

Beispiel: Die Oktave c’c’’ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c’g’ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c’e’ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e’g’ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.[2]

Zu jedem Anfangston (mit der Frequenz ) und zu jedem Intervall (mit dem Frequenzverhältnis ) ist eindeutig ein Endton (mit der Frequenz ) des Intervalls zugeordnet.

Beispiel: Hat a’ die Frequenz , so hat der Ton c’’, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis höher erklingt, die Frequenz .

In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur.

Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte.
12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hinter einander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation .
Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu und das der kleinen Diësis zu .

Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis. Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.

Beispiel:
Intervall Frequenzverhältnis
1 Oktave 2
2 Oktaven 4
3 Oktaven 8
Oktaven
gleichstufiger Halbton = 112 Oktave
1 Cent = 11200 Oktave
Oktaven [3]
Quinte =  Oktaven = 0,585 Oktaven
= 1200 · 0,585 Cent = 702 Cent
3:2

Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse.[4] Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave (oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent) ermöglicht einen sehr genauen Vergleich der Intervallgröße in ganzen Zahlen.[5] Dieses Oktav- oder Centmaß ist dann proportional zur Intervallgröße.

Beispiel:
Intervall Frequenzverhältnis Größe
1 Oktave 2 1200 Cent
2 Oktaven 4 2400 Cent
3 Oktaven 8 3600 Cent
 Oktaven
Oktaven  [3]
gleichstufiger Halbton = 112 Oktave 100 Cent
kleine Terz 6:5
große Terz 5:4
Quinte 3:2
pythagoreisches Komma 531441:524288
kleine Diësis 128:125
( = Logarithmus zur Basis 10, = Logarithmus zur Basis 2).

Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.

Beispiel:
Quinte = kleine Terz + große Terz = 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent.
pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven = 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent.
kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen = 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent = 41,059 Cent (gerundet).

Mathematisch gesehen sind die im Folgenden beschriebenen Intervallräume archimedisch geordnete kommutative Gruppen.

Beispiele für Intervallräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle.

In den folgenden Tabellen bedeutet:

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ),
  • H = Halbton (Frequenzverhältnis ),
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • Qm = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • T = Terz (Frequenzverhältnis ).
Name des Intervallraums Intervallraum
Das Quintensystem
Intervallraum der pythagoreischen Stimmung
Das ¼-Komma mitteltönige Quintensystem
Intervallraum der mitteltönigen Stimmung
Das Quint-Terz-System
Intervallraum der reinen Stimmung
Der zwölfstufige Intervallraum = Intervallraum der gleichstufigen Stimmung (Fehler zur reinen Stimmung bis 23 Cent)
Der 53-stufige Intervallraum (Fehler zur reinen Stimmung bis 2 Cent)
Der allumfassende Intervallraum
(Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)

Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ ½ · Q wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave ½ · Ok (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.

Pythagoreische Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Frequenzverhältnis Größe in Cent
Oktave Ok (Grundintervall) 2:1 1200
Quinte Q (Grundintervall) 3:2 702
Ganzton 2Q − Ok 9:8 204
pythagoreische große Terz (Ditonos) 2 Ganztöne = 4Q − 2Ok 81:64 408
Quarte Ok − Q 4:3 498
pythagoreischer Halbton (Limma) Quart-Ditonos = 3Ok − 5Q 256:243 90
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome) Ganzton-Limma = 7Q − 4Ok 2187:2048 114
pythagoreisches Komma 12Q − 7Ok 531441:524288 23
ausführliche Tabelle

Mitteltönige Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Frequenzverhältnis Angabe in Cent
Oktave Ok Ok (Grundintervall) 2:1 1200
Quinte Qm Qm (Grundintervall) 697
Große Terz 4Qm − 2OK = T 5:4 386
Quarte Ok − Qm 503
Kleine Sext 3Ok − 4Qm = Ok − T 8:5 814
Kleine Terz 2Ok − 3Qm 310
Große Sext 3Qm − Ok 890
Ganzton 2Qm − Ok 193
Kleine Septime 2Ok − 2Qm 1007
Halbton 3Ok − 5Qm 117
Große Septime 5Qm − 2Ok 1083
ausführliche Tabelle

Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:

Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …

Ein syntonische Komma tiefer … ,es ,b ,c ,g ,d ,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)

Ein syntonische Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)

Beispiel: reine große Terz: c ,e und reine Quinte c g.

Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d ,e f g ,a ,h c.

Beispiel: reine ,a-Moll-Tonleiter: ,a ,h c ,d ,e f g ,a.

Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.

Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder ,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.

Reine Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System , mit den folgenden Intervallen:

Intervall (Beispiel) Darstellung Frequenzverhältnis Angabe in Cent
Oktave c c’ Ok (Grundintervall) 2:1 1200
Quinte c g Q (Grundintervall) 3:2 702
Große Terz c ,e T (Grundintervall) 5:4 386
Quarte c f Ok − Q 4:3 498
Kleine Sext c ’as Ok − T 8:5 814
Kleine Terz c ’es Q − T 6:5 316
Große Sext c ,a Ok + T − Q 5:3 884
(Großer) Ganzton c d 2Q − Ok 9:8 204
Kleiner Ganzton d ,e T − (Großer Ganzton) = Ok + T − 2Q 10:9 182
Kleine Septime g f (1. Möglichkeit) Ok − (Großer Ganzton) = 2Ok − 2Q 16:9 996
Kleine Septime ,a g (2. Möglichkeit) Ok − (Kleiner Ganzton) = 2Q − T 9:5 1018
Halbton ,e f Quarte − T = Ok − Q − T 16:15 112
Große Septime c h Ok − Halbton = Q + T 15:8 1088
Syntonisches Komma ,e e 2(Große Ganztöne) − T = 4Q − 2Ok − T 81:80 22
ausführliche Tabelle

Um aus einem Frequenzverhältnis des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung

hat die eindeutige Lösung, als „Tripellogarithmus“ bezeichnet: und .

Damit gilt für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 81:80 die Beziehung (siehe syntonisches Komma).

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Dies lässt sich am besten mit den Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes darstellen: Für den Ton, der ein syntonisches Komma tiefer als x erklingt, wird die Bezeichnung ,x (Tiefkomma x) verwendet. Entsprechend wird mit ’x (Hochkomma x) der Ton bezeichnet, der ein syntonisches Komma höher als x liegt. Die Quinten im Quintenzirkel … as es b f c g d a … sind alle rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Die reinen Tonleitern im Quintenzirkel haben stets das gleiche Erscheinungsbild:

Tonleiter Tonleitertöne tabellarisch aufgelistet
Ces-Dur ces des ,es fes ges ,as ,b ces ,as-moll ,as ,b ces ,des ,es fes ges ,as
Ges-Dur ges as ,b ces des ,es ,f ges ,es-moll ,es ,f ges ,as ,b ces des ,es
Des-Dur des es ,f ges as ,b ,c des ,b-moll ,b ,c des ,es ,f ges as ,b
As-Dur as b ,c des es ,f ,g as ,f-moll ,f ,g as ,b ,c des es ,f
Es-Dur es f ,g as b ,c ,d es ,c-moll ,c ,d es ,f ,g as b ,c
B-Dur b c ,d es f ,g ,a b ,g-moll ,g ,a b ,c ,d es f ,g
F-Dur f g ,a b c ,d ,e f ,d-moll ,d ,e f ,g ,a b c ,d
C-Dur c d ,e f g ,a ,h c ,a-moll ,a ,h c ,d ,e f g ,a
G-Dur g a ,h c d ,e ,fis g ,e-moll ,e ,fis g ,a ,h c d ,e
D-Dur d e ,fis g a ,h ,cis d ,h-moll ,h ,cis d ,e ,fis g a ,h
A-Dur a h ,cis d e ,fis ,gis a ,fis-moll ,fis ,gis a ,h ,cis d e ,fis
E-Dur e fis ,gis a h ,cis ,dis e ,cis-moll ,cis ,dis e ,fis ,gis a h ,cis
H-Dur h cis ,dis e fis ,gis ,ais h ,gis-moll ,gis ,ais h ,cis ,dis e fis ,gis
Fis-Dur fis gis ,ais h cis ,dis ,eis fis ,dis-moll ,dis ,eis fis ,gis ,ais h cis ,dis
Cis-Dur cis dis ,eis fis gis ,ais ,his cis ,ais-moll ,ais ,his cis ,dis ,eis fis gis ,ais

Die angegebenen Molltonarten sind natürlich Moll. In harmonisch Moll sind noch die 6. und 7. Stufe zu betrachten: Bei ,es-Moll ,,c und ,,d, bei ,b-Moll ,,g und ,,a, bei ,f-Moll ,,d und ,,e, bei ,c-Moll ,,a und ,,h, bei ,g-Moll ,,e und ,,fis, bei ,d-Moll ,,h und ,,cis, bei ,a-Moll ,,fis und ,,gis, bei ,e-Moll ,,cis und ,,dis, bei ,h-Moll ,,gis und ,,ais, bei ,fis-Moll ,,dis und ,,eis, bei ,cis-Moll ,,ais und ,,his, bei ,gis-Moll ,,eis und ,,fisis, bei ,dis-Moll ,,his und ,,cisis, bei ,ais-Moll ,,fisis und ,,gisis.

Die Centwerte der Töne errechnen sich zu:

Ok = Oktave = 1200 Cent, Q = Quinte = Cent und K = syntonisches Komma = Cent
Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (2 Cent) unterscheiden, sind mit * markiert.
Ton Berechnung Centwert Vorkommen
c 0 0 * in C-Dur
,his 12Q − 7Ok − K 2 * ab Cis-Dur
,,cis 7Q − 4Ok − 2K 71 ab ,e-Moll
des −5Q + 3Ok 90 * ab As-Dur
,cis 7Q − 4Ok − K 92 * ab D-Dur
cis 7Q − 4Ok 114 ab H-Dur
,,d 2Q − Ok − 2K 161 ab ,f-Moll
,d 2Q − Ok − K 182 ab F-Dur
d 2Q − Ok 204 in C-Dur
,es −3Q + 2Ok − K 273 * ab Ges-Dur
,,dis 9Q − 5Ok − 2K 275 * ab ,fis-Moll
es −3Q + 2Ok 294 * ab B-Dur
,dis 9Q − 5Ok − K 296 * ab E-Dur
dis 9Q − 5Ok 318 ab Cis-Dur
,,e 4Q − 2Ok − 2K 365 ab ,g-Moll
fes −8Q + 5Ok 384 * ab Ces-Dur
,e 4Q − 2Ok − K 386 * in C-dur
e 4Q − 2Ok 408 ab D-Dur
,f −Q + Ok − K 477 * ab As-Dur
,,eis 11Q − 6Ok − 2K 478 * ab ,gis-Moll
f −Q + Ok 498 * in C-Dur
,eis 11Q − 6Ok − K 500* ab Fis-Dur
,,fis 6Q − 3Ok − 2K 569 ab ,a-Moll
ges −6Q + 4Ok 588 * ab Des-Dur
,fis 6Q − 3Ok − K 590 * ab G-Dur
fis 6Q − 3Ok 612 ab E-Dur
,,g Q − 2K 659 ab ,b-Moll
,g Q − K 680 * ab B-Dur
,,fisis 13Q − 7Ok − 2K 682 * ab ,ais-Moll
g Q 702 in C-Dur
,as −4Q + 3Ok − K 771 * ab Ces-Dur
,,gis 8Q − 4Ok − 2K 773 * ab ,h-moll
as −4Q + 3Ok 792 * ab Es-Dur
,gis 8Q − 4Ok − K 794 * ab A-Dur
gis 8Q − 4Ok 816 ab Fis-Dur
,,a 3Q − Ok − 2K 863 ab ,c-Moll
,a 3Q − Ok − K 884 * in C-Dur
,,gisis 15Q − 8Ok − 2K 886 * ab ,ais-Moll
a 3Q − Ok 906 ab G-Dur
,b −2Q + 2Ok − K 975 * ab Des-Dur
,,ais 10Q − 5Ok − 2K 977 * ab ,cis-Moll
b −2Q + 2Ok 996 * ab F-Dur
,ais 10Q − 5Ok − K 998 * ab H-Dur
,,h 5Q − 2Ok − 2K 1067 ab ,d-Moll
ces −7Q + 5Ok 1086 * ab Ges-Dur
,h 5Q − 2Ok − K 1088 * in C-Dur
h 5Q − 2Ok 1110 ab A-Dur
,,c −2K + Ok 1157 ab ,es-Moll
,c −K + Ok 1178 * ab Es-Dur
,,his 12Q − 7Ok − 2K 1180 * ab ,dis-Moll
c’ Ok 1200 in C-Dur

Gleichstufige Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Intervallraum mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Größe in Cent
Halbton H 100 Cent
Ganzton 2H 200 Cent
kleine Terz 3H 300 Cent
große Terz 4H 400 Cent
ausführliche Tabelle

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grundlage dieser Stimmung ist der 53-stufige Intervallraum . Die Oktave wird hierbei in 53 gleiche Teile geteilt.

Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen.

Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der große Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma.

Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“[6]

Die 53-stufige gleichförmige Stimmung:

Stufe Abstand von c in Cent Töne des Quintenzirkels
00 0 c = 0 ,his = 2
01 23 his = 23
02 45
03 68 ,,cis = 71
04 91 des = 90 ,cis = 92
05 113 ’des = 112 cis = 114
06 136 ’’des = 133
07 158 ,,d = 161
08 181 ,d = 182 ,,cisis = 184
09 204 d = 204 ,cisis = 206
10 226 cisis = 227
11 249
12 272 ,es = 273 ,,dis275
13 294 es = 294 ,dis = 296
14 317 ’es = 316 dis = 318
15 340 ’’es = 337
16 362 ,,e = 365
17 385 fes = 384 ,e = 386
18 408 ’fes = 406 e = 408
19 430
20 453
21 475 ,f = 477 ,,eis = 478
22 498 f = 498 ,eis = 500
23 521 eis = 522
24 543
25 566 ,,fis = 569
26 589 ges = 588 ,fis = 590
27 611 ’ges = 609 fis = 612
28 634
29 657 ,,g = 659
30 679 ,g = 680 ,,fisis = 682
31 702 g = 702 ,fisis = 704
32 725 fisis = 725
33 747
34 770 ,as = 771 ,,gis = 772
35 792 as = 792 ,gis = 794
36 815 ’as = 814 gis = 816
37 838 ’’as = 835
38 860 ,,a = 863
39 883 ,a = 884 ,,gisis = 886
40 906 a = 906
41 928 gisis = 929
42 951
43 974 ,b = 975 ,,ais = 977
44 996 b = 996 ,ais = 998
45 1019 ’b = 1018 ais = 1020
46 1042
47 1064 ,,h = 1067
48 1087 ces = 1086 ,h = 1088
49 1109 ’ces = 1108 h = 1110
50 1132
51 1155 ,,c = 1157
52 1177 ,c = 1178 ,,his1180
53 1200 c = 1200

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

Intervall Größe in Cent Stufe im 53-Sytem Größe in Cent Unterschied genau
diat. Halbton 112 05 113 −1,48
kleiner Ganzton 182 08 181 +1,29
großer Ganzton 204 09 204 +0,13
kleine Terz 316 14 317 −1,34
große Terz 386 17 385 +1,40
Quarte 498 22 498 −0,07
Tritonus 590 26 589 +0,07
Quinte 702 31 702 −1,41
kleine Sext 814 36 815 −1,01
große Sext 884 39 883 +1,34
Kleine Septime I 996 44 996 −0,14
Kleine Septime II 1018 45 1019 −1,27
große Septime 1088 48 1087 +1,47
Oktave 1200 53 1200 0,00

Schismatische Verwechslung

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his, des und ,cis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Kleismatische Verwechslung

Betrachtet man alle Töne, die man erhält, wenn man den Quintenzirkel bis ins Unendliche betrachtet, so werden diese Töne von der 53-stufigen Skala mit einer maximalen Abweichung von einem Kleisma erfasst. Nach Tanaka ist ein Kleisma (griechisch: κλεισμα „Verschluss“) der Abstand von ’’’fes zu ,,,eis oder ’’’ges zu ,,,fisis oder ’’’ces zu ,,,his usw. Mit ’’’fes = 448,89 Cent und ,,,eis = 456,99 Cent errechnet sich: Kleisma = 8,11 Cent.

Beispiele ausführlich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Intervalle der gleichstufigen Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 12-stufige Tastatur
Frequenzverhältnis Intervallgröße in Cent Intervallbezeichnung
1 0 Prim
100 gleichstufiger Halbton
200 gleichstufiger Ganzton
300 gleichstufige kleine Terz
400 gleichstufige große Terz
500 gleichstufige Quarte
600 gleichstufiger Tritonus
700 gleichstufige Quinte
800 gleichstufige kleine Sexte
900 gleichstufige große Sexte
1000 gleichstufige kleine Septime
1100 gleichstufige große Septime
2 1200 Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es u. s. w.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, …, Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des*-Es, Des*-E, …, D-Dis*, D-Es, D-E, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).
Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
Cis-Des* Deses 524288/531441 −23,460 −12Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sekunde = −Pythagoreisches Komma[7]
E-F Des 256/243 90,225 −5Q + 3Ok pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis Cis 2187/2048 113,685 7Q − 4Ok pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-Es Eses 65536/59049 180,450 −10Q + 6Ok pythagoreische verminderte Terz
C-D D 9/8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des*-Dis* Cisis 4782969/4194304 227,370 14Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis*-Ges* Feses 16777216/14348907 270,675 −15Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Quarte
D-F Es 32/27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz
Es-Fis Dis 19683/16384 317,595 9Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-F Fes 8192/6561 384,360 −8Q + 5Ok pythagoreische verminderte Quarte
C-E E 81/64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreische große Terz = Ditonos
Ges*-Ais* Disis 43046721/33554432 431,280 16Q − 9Ok pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges* Geses 2097152/1594323 474,585 −13Q + 8Ok pythagoreische doppeltverminderte Quinte
C-F F 4/3 498,045 −Q + Ok Quarte
Es-Gis Eis 177147/131072 521,505 11Q − 6Ok pythagoreische übermäßige Terz
E-B Ges 1024/729 588,270 −6Q + 4Ok pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis Fis 729/512 611,730 6Q − 3Ok pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-es Asas 262144/177147 678,495 −11Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sexte
C-G G 3/2 701,955 Q Quinte
Es-Ais* Fisis 1594323/1048576 725,415 13Q − 7Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais*-ges* Heseses 67108864/43046721 768,720 −16Q + 10Ok pythagoreische doppelt verminderte Septime
E-c As 128/81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sext
C-Gis Gis 6561/4096 815,640 8Q − 4Ok pythagoreische übermäßige Quinte
Cis-B Heses 32768/19683 882,405 −9Q + 6Ok pythagoreische verminderte Septime
C-A A 27/16 905,865 3Q − Ok pythagoreische große Sexte
Des*-Ais* Gisis 14348907/8388608 929,325 15Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis*-des* ceses 8388608/4782969 972,630 −14Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-B B 16/9 996,090 −2Q + 2Ok pythagoreische kleine Septime
Es-cis Ais 59049/32768 1019,550 10Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sexte
Cis-c ces 4096/2187 1086,315 −7Q + 5Ok pythagoreische verminderte Oktave
C-H H 243/128 1109,775 5Q − 2Ok pythagoreische große Septime
Cis-des* deses 1048576/531441 1176,540 −12Q + 8Ok pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sekunde)
C-c c 2/1 1200 Ok Oktave

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*)-(Es), (Des*)-(E), …, (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Qm = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Qm − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*) (Deses) 128:125 41,059 −12Qm + 7Ok = −3T + Ok (größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis
(C)-(Cis) (Cis) (5:16)w3 76,049 7Qm − 4Ok = 2T − Qm chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F) (Des) (8:25)w3 117,108 −5Qm + 3Ok = −T − Qm + Ok diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des*)-(Dis*) (Cisis) (125:256)w2 152,098 14Qm − 8Ok = 4T − 2Qm mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D) (D) (1:2)w2 193,157 2Qm − Ok mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es) (Eses) (64:125)w2 234,216 −10Qm + 6Ok = −3T + 2Qm mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis) (Dis) (25:32)w 269,206 9Qm − 5Ok = 2T + Qm − Ok mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F) (Es) (4:5)w 310,265 −3Qm + 2Ok = −T + Qm mitteltönige kleine Terz
(Ges*)-(Ais*) (Disis) 625:512 345,255 16Qm − 9Ok = 4T − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*) (Feses) (512:625)w 351,324 −15Qm + 9Ok = −4T + Qm + Ok mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E) (E) 5:4 386,314 4Qm − 2Ok = T große Terz
(Cis)-(F) (Fes) 32:25 427,373 −8Qm + 5Ok = −2T + Ok verminderte Quarte
(Es)-(Gis) (Eis) (25:64)w3 462,363 11Qm − 6Ok = 3T − Qm mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F) (F) (2:5)w3 503,422 −Qm + Ok mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*) (Geses) (256:625)w3 544,480 −13Qm + 8Ok = −3T − Qm + 2Ok mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H) (Fis) (5:8)w2 579,471 6Qm − 3Ok = T + 2Qm − Ok mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G) (Ges) (16:25)w2 620,529 −6Qm + 4Ok = −2T + 2Qm mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis) (Fisis) (125:128)w 655,520 13Qm − 7Ok = 3T + Qm − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G) (G) w 696,578 Qm mitteltönige Quinte
(Gis)-(es) (Asas) (128:125)w 737,637 −11Qm + 7Ok = −3T + Qm + Ok mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis) (Gis) 25:16 772,627 8Qm − 4Ok = 2T kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c) (As) 8:5 813,686 −4Qm + 3Ok = −T + Ok kleine Sexte
(Des*)-(Ais*) (Gisis) (125:256)w3 848,676 15Qm − 8Ok = 4T − Qm mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*) (Beses) 1024:625 854,745 −16Qm + 10Ok = 4T + 2Ok mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A) (A) (1:2)w3 889,735 3Qm − Ok = T − Qm + Ok mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B) (Bes) (64:125)w3 930,794 −9Qm + 6Ok = −2T − Qm + 2Ok mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis) (Ais) (25:32)w2 965,784 10Qm − 5Ok = 2T + 2Qm − Ok mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c) (B) (4:5)w2 1006,843 −2Qm + 2Ok mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*) (ceses) (512:625)w2 1047,902 −14Qm + 9Ok = −4T + 2Qm + Ok mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H) (H) (5:4)w 1082,892 5Qm − 2Ok = T + Qm mitteltönige große Septime
(Cis)-(c) (ces) (32:25)w 1123,951 −7Qm + 5Ok = −2T + Qm + Ok mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*) (his) 125:64 1158,941 12Qm − 6Ok = 3T übermäßige Septime
(C)-(c) (c) 2:1 1200 Ok Oktave

Intervalle der reinen Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C ’Des D ’Es ,E F ,Fis G ’As ,A ’B ,H C wird berechnet jedes der Intervalle: C-,Cis / C-’Des / C-D / C-,,Dis / C-’Es / C-,E / … / ,Cis-,,Dis / ,Cis-’Es / ,Cis-,E / ,Cis-F / ,Cis-,Fis / … / D-,,Dis / D-’Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »C D ,E F G ,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »C D ’Es F G ’As ’B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-’Es-G / F-,A-c / F-’As-c / G-,H-D und G-’B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-’Des / ,Cis-D / ,,Dis-,E / F-’Ges / ,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Q = Quinte und
  • T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
Des-,Cis ,His 32805:32768 1,954 T + 8Q − 5Ok kleine übermäßige Septime − Oktave, Schisma
,Cis-’Des ’’Deses 2048:2025 19,553 −2T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-’Es ’’’Deses 128:125 41,059 −3T + Ok (größere) verminderte Sekunde, kleine Diësis
D-,,Dis ,,Cis 25:24 70,672 2T − Q (kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-,Cis ,Cis 135:128 92,179 T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
,E-F ’Des 16:15 111,731 −T − Q + Ok kleine Sekunde, diatonischer Halbton
,A-’B ’’Des 27:25 133,238 −2T + 3Q − Ok (größere) kleine Sekunde, großes Limma,
’Des-,,Dis ,,,Cisis 1125:1024 162,851 3T + 2Q − 2Ok doppelt übermäßige Prim
D-,E ,D 10:9 182,404 T − 2Q + Ok kleiner Ganzton
C-D D 9:8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreischer Ganzton
,E-’Ges ’’Eses 256:225 223,463 −2T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Terz
,,Gis-’B ’’’Eses 144:125 244,969 −3T + 2Q (größere) verminderte Terz
C-,,Dis ,,Dis 75:64 274,582 2T + Q − Ok übermäßige Sekunde
D-F Es 32:27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-’Es ’Es 6:5 315,641 −T + Q kleine Terz
,,Dis-’Ges ’’’Feses 4096:3375 335,194 −3T − 3Q + 3Ok doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais ,,,Disis 10125:8192 366,761 3T + 4Q − 3Ok doppelt übermäßige Sekunde
C-,E ,E 5:4 386,314 T große Terz
D-’Ges ’Fes 512:405 405,866 −T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis E 81:64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-’As ’’Fes 32:25 427,373 −2T + Ok verminderte Quarte
’Es-,,Gis ,,,Eis 125:96 456,986 3T − Q (kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais ,,Eis 675:512 478,492 2T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Terz
C-F F 4:3 498,045 −Q + Ok Quarte
,Cis-’Ges ’’Geses 8192:6075 517,598 −2T − 5Q + 4Ok doppelt verminderte Quinte
,A-d ’F 27:20 519,551 −T + 3Q − Ok unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
,,Dis-’As ’’’Geses 512:375 539,104 −3T − Q + 2Ok doppelt verminderte Quinte
D-,,Gis ,,Fis 25:18 568,717 2T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Quarte
’Ges-,cis ,,Fisis 6075:4096 682,402 2T + 5Q − 3Ok doppelt verminderte Quarte
C-,Fis ,Fis 45:32 590,224 T + 2Q − Ok Tritonus, übermäßige Quarte
,Fis-c ’Ges 64:45 609,776 −T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Quinte
,A-’es ’’Ges 36:25 631,283 −2T + 2Q (größere) verminderte Quinte
’Es-,,Ais ,,,Fisis 375:256 660,896 3T + Q − Ok doppelt übermäßige Quarte
D-,A ,G 40:27 680,449 T − 3Q + 2Ok unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-G G 3:2 701,955 Q Quinte
,H-’ges ’’Asas 1024:675 721,508 −2T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-’B ’’’Asas 192:125 743,014 −3T + Q + Ok (größere) verminderte Sexte
C-,,Gis ,,Gis 25:16 772,627 2T kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,A As 128:81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sexte
F-,cis ,Gis 405:256 794,134 T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Quinte
,E-c ’As 8:5 813,686 −T + Ok kleine Sexte
,,Ais-’ges ’’’Beses 16384:10125 833,239 −3T − 4Q + 4Ok doppelt verminderte Septime
’Des-,,Ais ,,,Gisis 3375:2048 864,806 3T + 3Q − 2Ok doppelt übermäßige Quinte
C-,A ,A 5:3 884,359 T − Q + Ok große Sexte
F-d A 27:16 905,865 3Q − Ok pyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-’des ’’Bes 128:75 925,418 −2T − Q + 2Ok (größere) verminderte Septime
’B-,,gis ,,,Ais 125:72 955,031 3T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais ,,Ais 225:128 976,537 2T + 2Q − Ok (größere) übermäßige Sexte
D-c B 16:9 996,090 −2Q + 2Ok kleinere kleine Septime (= Oktave − großer Ganzton)
C-’B ’B 9:5 1017,596 −T + 2Q größere kleine Septime (= Oktave − kleiner Ganzton)
,,Dis-’des ’’’ceses 2048:1125 1037,149 −3T − 2Q + 3Ok doppelt verminderte Oktave
’B-,,ais ,,,his 125:64 1158,941 3T übermäßige Septime
’B-,a ,,H 50:27 1066,762 2T − 3Q + 2Ok (kleinere) große Septime
C-,H ,H 15:8 1088,269 T + Q große Septime
,Cis-c ’ces 256:135 1107,821 −T − 3Q + 3Ok (kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d ’’ces 48:25 1129,328 −2T + Q + Ok (größere) verminderte Oktave
’Des-,cis ,,his 2025:1024 1180,447 2T + 4Q − 2Ok (größere) überm. Septime
C-c c 2:1 1200 Ok Oktave

Intervalle nach Größe geordnet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,6 Cent).

C-,Cis-’Des-D-,,Dis-’Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
  • Qm = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis )
  • T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).
Intervalle von C
aus bis
Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
C-C C 1:1 0 Prim
,His 32805:32768 1,954 8Q + T − 5Ok Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
,Cis-’Des ’’Deses 2048:2025 19,553 −2T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
’C 81:80 21,506 4Q − T − 2Ok syntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und ,d(F-dur)
Des*-Cis His 531441:524288 23,460 12Q − 7Ok pythagoreisches Komma
(Dis)-(Es)
=,,Dis-’Es
(Deses)
=’’’Deses
128:125 41,059 −12Qm + 7Ok = −3T + Ok (in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
’’’’Deses 648:625 62,565 4Q − 4T − Ok große Diësis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis ,,Cis 25:24 70,672 2T − Q (kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis) (Cis) (5:16)w3 76,049 7Qm − 4Ok chromatischer mitteltöniger Halbton
E-F Des 256:243 90,225 −5Q + 3Ok pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis ,Cis 135:128 92,179 T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
100 (1:12)Ok kleine gleichstufige Sekunde
,E-F ’Des 16:15 111,731 −T − Q + Ok kleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-Cis Cis 2187:2048 113,685 7Q − 4Ok pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F) (Des) (8:25)w3 117,108 −5Qm + 3Ok diatonischer mitteltöniger Halbton
,A-’B ’’Des 27:25 133,238 −2T + 3Q − Ok (größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des*)-(Dis*) (Cisis) (125:256)w2 152,098 14Qm − 8Ok mitteltönige doppelt übermäßige Prim
’Des-,,Dis ,,,Cisis 1125:1024 162,851 3T + 2Q − 2Ok doppelt übermäßige Prim
Cis-Es Eses 65536:59049 180,450 −10Q + 6Ok pythagoreische verminderte Terz
D-,E ,D 10:9 182,404 T − 2Q + Ok kleiner Ganzton
(C)-(D) (D) (1:2)w2 193,157 2Qm − Ok mitteltöniger Ganzton
200 (2:12)Ok große gleichstufige Sekunde
C-D D 9:8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
,E-’Ges ’’Eses 256:225 223,463 −2T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Terz
Des*-Dis* Cisis 4782969:4194304 227,370 14Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es) (Eses) (64:125)w2 234,216 −10Qm + 6Ok mitteltönig verminderte Terz
,,Gis-’B ’’’Eses 144:125 244,969 −3T + 2Q (größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis) (Dis) (25:32)w 269,206 9Qm − 5Ok mitteltönige übermäßige Sekunde
Dis*-Ges* Feses 16777216:14348907 270,675 −15Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis ,,Dis 75:64 274,582 2T + Q − Ok übermäßige Sekunde
D-F Es 32:27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
300 (3:12)Ok kleine gleichstufige Terz
(D)-(F) (Es) (4:5)w 310,265 −3Qm + 2Ok mitteltönige kleine Terz
C-’Es ’Es 6:5 315,641 −T + Q kleine Terz
Es-Fis Dis 19683:16384 317,595 9Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-’Ges ’’’Feses 4096:3375 335,194 −3T − 3Q + 3Ok doppelt verminderte Quarte
(Ges*)-(Ais*) (Disis) 625:512 345,255 16Qm − 9Ok = 4T − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis) = ,,,,Disis.
(Dis*)-(Ges*) (Feses) (512:625)w 351,324 −15Qm + 9Ok mitteltönig doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais ,,,Disis 10125:8192 366,761 3T + 4Q − 3Ok doppelt übermäßige Sekunde
Cis-F Fes 8192:6561 384,360 −8Q + 5Ok pythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E)
=C-,E
(E)
=,E
5:4 386,314 4Qm − 2Ok = T große Terz
400 (4:12)Ok große gleichstufige Terz
D-’Ges ’Fes 512:405 405,866 −T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis E 81:64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F)
=,E-’As
(Fes)
=’’Fes
32:25 427,373 −8Qm + 5Ok = Ok − 2T verminderte Quarte
Ges*-Ais* Disis 602409:469571 431,280 16Q − 9Ok pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
’Es-,,Gis ,,,Eis 125:96 456,986 3T − Q (kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis) (Eis) (25:64)w3 462,363 11Qm − 6Ok mitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges* Geses 2097152:1594323 474,585 −13Q + 8Ok pythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais ,,Eis 675:512 478,492 2T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Terz
C-F F 4:3 498,045 −Q + Ok Quarte
500 (5:12)Ok gleichstufige Quarte
(C)-(F) (F) (2:5)w3 503,422 −Qm + Ok mitteltönige Quarte
,Cis-’Ges ’’Geses 8192:6075 517,598 −2T − 5Q + 4Ok doppelt verminderte Quinte
,A-d ’F 27:20 519,551 −T + 3Q − Ok unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Es-Gis Eis 177147:131072 521,505 11Q − 6Ok pythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-’As ’’’Geses 512:375 539,104 −3T − Q + 2Ok doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*) (Geses) (256:625)w3 544,480 −13Qm + 8Ok mitteltönig doppelt verminderte Quinte
11:8 551,318 Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis ,,Fis 25:18 568,717 2T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H) (Fis) (5:8)w2 579,471 6Qm − 3Ok mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltöniger Tritonus
E-B Ges 1024:729 588,270 −6Q + 4Ok pythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis ,Fis 45:32 590,224 T + 2Q − Ok Tritonus, übermäßige Quarte
600 (6:12)Ok gleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c ’Ges 64:45 609,776 −T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Quinte
C-Fis Fis 729:512 611,730 6Q − 3Ok pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
(Cis)-(G) (Ges) (16:25)w2 620,529 −6Qm + 4Ok mitteltönige verminderte Quinte
,A-’es ’’Ges 36:25 631,283 −2T + 2Q (größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis) (Fisis) (125:128)w 655,520 13Qm − 7Ok mitteltönig doppelt übermäßige Quarte
’Es-,,Ais ,,,Fisis 375:256 660,896 3T + Q − Ok doppelt übermäßige Quarte
Gis-es Asas 262144:177147 678,495 −11Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sexte
D-,A ,G 40:27 680,449 T − 3Q + 2Ok unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
’Ges-,cis ,,Fisis 6075:4096 682,402 2T + 5Q − 3Ok doppelt verminderte Quarte
(C)-(G) (G) w 696,578 Qm mitteltönige Quinte
700 (7:12)Ok gleichstufige Quinte
C-G G 3:2 701,955 Q Quinte
,H-’ges ’’Asas 1024:675 721,508 −2T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais* Fisis 1594323:1048576 725,415 13Q − 7Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es) (Asas) (128:125)w 737,637 −11Qm + 7Ok mitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-’B ’’’Asas 192:125 743,014 −3T + Q + Ok (größere) verminderte Sexte
Ais*-ges* Beses 67108864:43046721 768,720 −16Q + 10Ok pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis)
=C-,,Gis
(Gis)
=,,Gis
25:16 772,627 8Qm − 4Ok = 2T (In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
E-c As 128:81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sexte
F-,cis ,Gis 405:256 794,134 T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Quinte
800 (8:12)Ok kleine gleichstufige Sexte
,E-c ’As 8:5 813,686 −T + Ok kleine Sexte
C-Gis Gis 6561:4096 815,640 8Q − 4Ok pythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-’ges ’’’Beses 16384:10125 833,239 −3T − 4Q + 4Ok doppelt verminderte Septime
(Des*)-(Ais*) (Gisis) (125:256)w3 848,676 15Qm − 8Ok mitteltönige doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*) (Beses) 1024:625 854,745 −16Qm + 10Ok = −4T + 2Ok mitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ’’’’Beses.
’Des-,,Ais ,,,Gisis 3375:2048 864,806 3T + 3Q − 2Ok doppelt übermäßige Quinte
Cis-B Bes 32768:19683 882,405 −9Q + 6Ok pythagoreische verminderte Septime
C-,A ,A 5:3 884,359 T − Q + Ok große Sexte
(C)-(A) (A) (1:2)w3 889,735 3Qm − Ok mitteltönige große Sexte
900 (9:12)Ok große gleichstufige Sexte
C-A A 27:16 905,865 3Q − Ok pythagoreische große Sexte
,E-’des ’’Bes 128:75 925,418 −2T − Q + 2Ok (größere) verminderte Septime
Des*-Ais* Gisis 14348907:8388608 929,325 15Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B) (Bes) (64:125)w3 930,794 −9Qm + 6Ok mitteltönige verminderte Septime
’B-,,gis ,,,Ais 125:72 955,031 3T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis) (Ais) (25:32)w2 965,784 10Qm − 5Ok mitteltönige übermäßige Sexte
7:4 968,826 i Nur zur Ergänzung: Die Naturseptime, der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis*-des* Ceses 8388608:4782969 972,630 −14Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais ,,Ais 225:128 976,537 2T + 2Q − Ok (größere) übermäßige Sexte
D-c B 16:9 996,090 −2Q + 2Ok pythagoreische kleine Septime
1000 (10:12)Ok kleine gleichstufige Septime
(D)-(c) (B) (4:5)w2 1006,843 −2Qm + 2Ok mitteltönige kleine Septime
C-’B ’B 9:5 1017,596 −T + 2Q kleine Septime
Es-cis Ais 59049:32768 1019,550 10Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-’des ’’’ceses 2048:1125 1037,149 −3T − 2Q + 3Ok doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*) (ceses) (512:625)w2 1047,902 −14Qm + 9Ok mitteltönige doppelt verminderte Oktave
’B-,a ,,H 50:27 1066,762 2T − 3Q + 2Ok (kleinere) große Septime
(C)-(H) (H) (5:4)w 1082,892 5Qm − 2Ok mitteltönige große Septime
Cis-c Ces 4096:2187 1086,315 −7Q + 5Ok pythagoreische verminderte Oktave
C-,H ,H 15:8 1088,269 T + Q große Septime
1100 (11:12)Ok große gleichstufige Septime
,Cis-c ’ces 256:135 1107,821 −T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Oktave
C-H H 243:128 1109,775 5Q − 2Ok pythagoreische große Septime
(Cis)-(c) (ces) (32:25)w 1123,951 −7Qm + 5Ok mitteltönige verminderte Oktave
,,Dis-d ’’ces 48:25 1129,328 −2T + Q + Ok (größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*)
=’B-,,ais
(his)
=,,,his
125:64 1158,941 12Qm − 6Ok = 3T übermäßige Septime
Cis-des* deses 1048576:531441 1176,540 −12Q + 8Ok pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sek.)
’Des-,cis ,,his 2025:1024 1180,447 2T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Septime
C-c 2:1 1200 Ok Oktave

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.[8] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.[9]

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden offensichtlichen Regeln gelten: Jedem Tonpaar wird ein eindeutiges Intervall von zu zuordnet. Ist umgekehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist durch der Endton eindeutig bestimmt. Die Hintereinanderausführung von Intervalle definiert eine Addition: Ist und , dann ist . Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben , wenn der Endton von höher als der Endton von bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Beispiel zum Erhören der Intervallstruktur:
  • Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = 712 Oktave. Entsprechend:
  • Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = 13 Oktave.[10] Hier kann man nun weiter rechnen:
  • Kleine Terz = Quinte − große Terz = 14 Oktave und
  • Halbton = Große Terz − kleine Terz = 112 Oktave.
  • So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen.[8]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung, bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
  2. Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
  3. a b Beachte:
  4. Außer bei Zweierpotenzen (ganzzahligen Vielfachen der Oktave) sind Zweierlogarithmen von reinen (rationalen) Frequenzverhältnissen irrational und sogar transzendent.
  5. Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass sie bei vielen Frequenzen einem gerade noch hörbaren Frequenzunterschied entspricht.
  6. Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2, Auszug). Helmholz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.
  7. Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.
  8. a b Winfried Neumaier S. 64ff zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axiom, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
    Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 41 Quinten = 24 Oktaven als bessere Annäherung der Quinte und dies ergibt dann: Quinte=2441 Oktave=702 Cent. Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.
  9. Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem. Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf den antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main u. a. 1986, ISBN 3-8204-9492-8
  10. Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = 928 Oktave (= 386 Cent).