Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

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Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.[1]

Heutzutage werden Tonhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).

Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Alle unten aufgeführten Tonsysteme sind auf das Intervall der Oktave bezogen.[2]

Der geordnete Tonraum

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Jeder Ton hat eine Frequenz.

Beispiel: c′ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e′ die Frequenz 330 Hz, g′ die Frequenz 396 Hz und c″ die Frequenz 528 Hz.[3]

Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung.

Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c.
Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.

Der geordnete additive Intervallraum

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Je zwei Tönen x und y (mit den Frequenzen f1 und f2) ist eindeutig ein Intervall xy zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis q = f2 : f1).

Beispiel: Die Oktave c′c″ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.[4]

Zu jedem Anfangston x (mit der Frequenz f1) und zu jedem Intervall i (mit dem Frequenzverhältnis q) ist eindeutig ein Endton y (mit der Frequenz f2 = f1q) des Intervalls i = xy zugeordnet.

Beispiel: Hat a′ die Frequenz f1 = 440 Hz, so hat der Ton c″, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis q = 6:5 höher erklingt, die Frequenz f2 = 440 Hz · 6/5 = 528 Hz.

In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur.

Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte.
12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hintereinander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation 6/5 · 5/4 = 3/2.
Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu (3/2)12 : 27 = 531.441 : 524.288 ≈ 1,013.643 und das der kleinen Diësis zu 2 : (5/4)3 = 128 : 125 = 1,024.

Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis.

Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.

Beispiel:

Intervall Frequenzverhältnis Intervall Frequenzverhältnis
1 Oktave 2 1 Quinte 3/2
2 Oktaven 4 2 Quinten 9/4
3 Oktaven 8 3 Quinten 27/8
4 Oktaven 16 4 Quinten 81/16
5 Oktaven 32 5 Quinten 243/32
••• •••

Mathematisch gesehen ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Intervalle und Frequenzverhältnisse

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Streng mathematisch kann man formulieren:

Es gibt eine Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse .

Die Abbildung ist ein Homomorphismus, d. h. werden zwei Intervalle addiert, so werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert.

Beispiel: Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt: (große Terz) · (kleine Terz) = (Quinte), nämlich 5/4 · 6/5 = 3/2.

Solche Funktionen wachsen exponentiell. Zum Beispiel: Aus (Quinte) = 3/2 folgt (12 Quinten) = .

Die Umkehrfunktion von ist der Logarithmus zur Basis 2. Damit lässt sich die Größe eines Intervalls als Vielfaches der Einheit Oktave oder der Untereinheit Cent „messen“ (dabei gilt 1200 Cent = 1 Oktave).

Beispiel: Da (Quinte) = 3/2, folgt Quinte = log2 (3/2) Oktave ≈ 702 Cent.[5]

Messung der Größe von Intervallen

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Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Oft wird jedoch die Untereinheit Cent verwendet.

Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent ermöglicht eine anschauliche Vorstellung von der Größe verschiedener Intervalle, die auch der musikpraktischen Empfindung entspricht. Sie ermöglicht aber keine exakte Repräsentation all derjenigen Intervalle, die nicht dem gleichstufig-temperierten System entstammen, wie z. B. alle Intervalle der reinen oder mitteltönigen Stimmung (außer trivialerweise der ganzzahligen Vielfachen der Oktave). Diese können immer nur näherungsweise dargestellt werden, da ihre Cent-Werte irrational sind (Satz von Lindemann-Weierstraß).

Beispiel
Intervall Frequenzverhältnis Größe
1 Oktave 2 1200 Cent
2 Oktaven 4 2400 Cent
3 Oktaven 8 3600 Cent
k Oktaven 2k 1200 · k Cent
log2 (q) Oktaven q 1200 · log2 (q) Cent
gleichstufiger Halbton = 112 Oktave 100 Cent
reine kleine Terz 6:5
reine große Terz 5:4
reine Quinte 3:2
Pythagoreisches Komma 531441:524288
kleine Diësis 128:125
( = Logarithmus zu beliebiger Basis b>0, = Logarithmus zur Basis 2).

Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.

Beispiel:
Quinte = kleine Terz + große Terz ≈ 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent.
pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven ≈ 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent.
kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen ≈ 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent ≈ 41,059 Cent.

Berechnung der Intervallgröße und des Frequenzverhältnisses

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Ist das Frequenzverhältnis des Intervalls, so berechnet sich die Größe des Intervalls zu:

Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhältnis von . Dann berechnet sich ihre Größe zu

Ist andererseits das Intervall, so berechnet sich das Frequenzverhältnis zu:

Beispiel 1: Das Intervall von der Größe hat das Frequenzverhältnis von:

Beispiel 2: Die reine Quinte hat ungefähr die Größe 702 Cent, genau . Das Frequenzverhältnis berechnet sich dann zu:

Beispiele für Intervallräume

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Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle. Die Intervallgrößen einzelner Stimmungen unterscheiden sich.

In den folgenden Tabellen bedeutet:

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ),
  • H = Halbton (Frequenzverhältnis ),
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • Qm = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • T = Terz (Frequenzverhältnis ).
Name des Intervallraums Intervallraum
Das Quintensystem
Intervallraum der pythagoreischen Stimmung
Das ¼-Komma mitteltönige Quintensystem
Intervallraum der mitteltönigen Stimmung
Das Quint-Terz-System
Intervallraum der reinen Stimmung
Der zwölfstufige Intervallraum = Intervallraum der gleichstufigen Stimmung
Der 53-stufige Intervallraum
Der allumfassende Intervallraum
(Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)
Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ (350 Cent) wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.[6]

Pythagoreische Stimmung

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Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Frequenzverhältnis Größe in Cent
Oktave Ok (Grundintervall) 2:1 =1200
Quinte Q (Grundintervall) 3:2 ≈702
Ganzton 2 Q − Ok 9:8 ≈204
pythagoreische große Terz (Ditonos) 2 Ganztöne = 4 Q − 2 Ok 81:64 ≈408
Quarte Ok − Q 4:3 ≈498
pythagoreischer Halbton (Limma) Quart-Ditonos = 3 Ok − 5 Q 256:243 ≈90
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome) Ganzton-Limma = 7Q − 4Ok 2187:2048 ≈114
pythagoreisches Komma 12 Q − 7 Ok 531441:524288 ≈23
ausführliche Tabelle

Mitteltönige Stimmung

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Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Frequenzverhältnis Größe in Cent
Oktave Ok Ok (Grundintervall) 2:1 =1200
Quinte Qm Qm (Grundintervall) ≈697
Große Terz 4 Qm − 2 OK = T 5:4 ≈386
Quarte Ok − Qm ≈503
Kleine Sext 3 Ok − 4 Qm = Ok − T 8:5 ≈814
Kleine Terz 2 Ok − 3 Qm ≈310
Große Sext 3 Qm − Ok ≈890
Ganzton 2 Qm − Ok ≈193
Kleine Septime 2 Ok − 2 Qm ≈1007
Halbton 3 Ok − 5 Qm ≈117
Große Septime 5 Qm − 2 Ok ≈1083
ausführliche Tabelle

Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes

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In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:

Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …

Ein syntonisches Komma tiefer …,es,b ,c,g ,d,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)

Ein syntonisches Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)

Beispiel: reine große Terz: c,e und reine Quinte c g.

Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d,e f g,a ,h c.

Beispiel: reine,a-Moll-Tonleiter: ,a,h c,d ,e f g,a.

Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.

Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System , das aus den Intervallen der Form

mit den Frequenzverhältnissen
besteht.

Die Hauptintervalle sind:

Intervall (Beispiel) Darstellung Frequenzverhältnis Größe in Cent
Oktave c c’ Ok (Grundintervall) 2:1 =1200
Quinte c g Q (Grundintervall) 3:2 ≈702
Große Terz c ,e T (Grundintervall) 5:4 ≈386
Quarte c f Ok − Q 4:3 ≈498
Kleine Sext c ’as Ok − T 8:5 ≈814
Kleine Terz c ’es Q − T 6:5 ≈316
Große Sext c ,a Ok + T − Q 5:3 ≈884
Großer Ganzton c d 2Q − Ok 9:8 ≈204
Kleiner Ganzton d ,e T − (Großer Ganzton) = Ok + T − 2Q 10:9 ≈182
Kleine Septime g f (1. Möglichkeit) Ok − (Großer Ganzton) = 2Ok − 2Q 16:9 ≈996
Kleine Septime ,a g (2. Möglichkeit) Ok − (Kleiner Ganzton) = 2Q − T 9:5 ≈1018
diatonischer Halbton ,e f Quarte − T = Ok − Q − T 16:15 ≈112
chromatischer Halbton c ,cis
bzw. d ,,dis
großer Ganzton - diatonischer Halbton = T + 3Q − 2Ok
kleiner Ganzton - diatonischer Halbton = 2T − Q
135:128
25:24
≈92
≈71
Große Septime c h Ok − diatonischer Halbton = Q + T 15:8 ≈1088
Syntonisches Komma ,e e 2(Große Ganztöne) − T = 4Q − 2Ok − T 81:80 ≈22
Kleine Diësis ,,gis 'as Ok - 3T 128:125 ≈41
große Diësis ,,fis ''ges 4(kleine Terzen) - Ok = 4Q - 4T - Ok 648:625 ≈63
ausführliche Tabelle

Superpartikuläre Brüche oder überteilige Brüche sind von der Form (n = 1, 2, 3, …). Die einzigen Intervalle mit solchen Frequenzverhältnissen sind im Quint-Terz-System: Oktave (2/1), Quinte (3/2), Quarte (4/3), große Terz (5/4), kleine Terz (6/5), großer Ganzton (9/8), kleiner Ganzton (10/9), diatonischer Halbton (16/15), chromatischer Halbton (25/24) und syntonisches Komma (81/80).[7] Im Quint-Terz-System sind Zähler und Nenner dieser Brüche nur Produkte aus 2, 3 und 5.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist: Intervalle, deren Frequenzverhältnis super partikulär sind, lassen sich nicht teilen (insbesondere nicht halbieren).

Um aus einem Frequenzverhältnis des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung

hat die eindeutige Lösung, als „Tripellogarithmus“ bezeichnet: und .

Damit gilt für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 81:80 die Beziehung (siehe syntonisches Komma).

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel

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Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Dies lässt sich am besten mit den Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes darstellen: Für den Ton, der ein syntonisches Komma tiefer als x erklingt, wird die Bezeichnung ,x (Tiefkomma x) verwendet. Entsprechend wird mit ’x (Hochkomma x) der Ton bezeichnet, der ein syntonisches Komma höher als x liegt. Die Quinten im Quintenzirkel … as es b f c g d a … sind alle rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Die reinen Tonleitern im Quintenzirkel haben stets das gleiche Erscheinungsbild (Bei Moll die 6. und 7. Stufe noch erhöht):

Tonleiter Tonleitertöne tabellarisch aufgelistet
Ces-Dur ces des ,es fes ges ,as ,b ces ,as-moll ,as ,b ces ,des ,es fes ,,f ges ,,g ,as
Ges-Dur ges as ,b ces des ,es ,f ges ,es-moll ,es ,f ges ,as ,b ces ,,c des ,,d ,es
Des-Dur des es ,f ges as ,b ,c des ,b-moll ,b ,c des ,es ,f ges ,,g as ,,a ,b
As-Dur as b ,c des es ,f ,g as ,f-moll ,f ,g as ,b ,c des ,,e es ,,e ,f
Es-Dur es f ,g as b ,c ,d es ,c-moll ,c ,d es ,f ,g as ,,a b ,,h ,c
B-Dur b c ,d es f ,g ,a b ,g-moll ,g ,a b ,c ,d es ,,e f ,,fis ,g
F-Dur f g ,a b c ,d ,e f ,d-moll ,d ,e f ,g ,a b ,,h c ,,cis ,d
C-Dur c d ,e f g ,a ,h c ,a-moll ,a ,h c ,d ,e f ,,fis g ,,gis ,a
G-Dur g a ,h c d ,e ,fis g ,e-moll ,e ,fis g ,a ,h c ,,cis d ,,dis ,e
D-Dur d e ,fis g a ,h ,cis d ,h-moll ,h ,cis d ,e ,fis g ,,gis a ,,ais ,h
A-Dur a h ,cis d e ,fis ,gis a ,fis-moll ,fis ,gis a ,h ,cis d ,,dis e ,,eis ,fis
E-Dur e fis ,gis a h ,cis ,dis e ,cis-moll ,cis ,dis e ,fis ,gis a ,,ais h ,,his ,cis
H-Dur h cis ,dis e fis ,gis ,ais h ,gis-moll ,gis ,ais h ,cis ,dis e ,,eis fis ,,fisis ,gis
Fis-Dur fis gis ,ais h cis ,dis ,eis fis ,dis-moll ,dis ,eis fis ,gis ,ais h ,,his cis ,,cisis ,dis
Cis-Dur cis dis ,eis fis gis ,ais ,his cis ,ais-moll ,ais ,his cis ,dis ,eis fis ,,fisis gis ,,gisi ,ais

Die Centwerte der Töne errechnen sich zu:

Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (≈2 Cent) unterscheiden, sind mit * markiert.
Ton Größe in Cent Vorkommen
c =0* in C-Dur
,his ≈2* ab Cis-Dur
'c ≈22 ab d-moll
,,cis ≈71 ab ,e-Moll
des ≈90* ab As-Dur
,cis ≈92* ab D-Dur
'des ≈112* ab f-moll
cis ≈114* ab H-Dur
,,d ≈161 ab ,f-Moll
,d ≈182 ab F-Dur
'eses ≈202* in ges-moll
d ≈204* in C-Dur
'd ≈225 ab e-moll
,es ≈273* ab Ges-Dur
,,dis ≈275* ab ,fis-Moll
es ≈294* ab B-Dur
,dis ≈296* ab E-Dur
'es ≈316* in c-moll
dis ≈318* ab Cis-Dur
,,e ≈365 ab ,g-Moll
fes ≈384* ab Ces-Dur
,e ≈386* in C-dur
'fes ≈406* ab as-moll
e ≈408* ab D-Dur
'e ≈429 ab fis-moll
,f ≈477* ab As-Dur
,,eis ≈478* ab ,gis-Moll
f ≈498* in C-Dur
,eis ≈500* ab Fis-Dur
'f ≈520 ab g-moll
,,fis ≈569 ab ,a-Moll
ges ≈588* ab Des-Dur
,fis ≈590* ab G-Dur
'ges ≈610* ab b-moll
fis ≈612* ab E-Dur
,,g ≈659 ab ,b-Moll
,g ≈680* ab B-Dur
,,fisis ≈682* ab ,ais-Moll
g ≈702 in C-Dur
'g ≈723 ab a-moll
,as ≈771* ab Ces-Dur
,,gis ≈773* ab ,h-moll
as ≈792* ab Es-Dur
,gis ≈794* ab A-Dur
'as ≈814* in c-moll
gis ≈816* ab Fis-Dur
,,a ≈863 ab ,c-Moll
,a ≈884* in C-Dur
,,gisis ≈886* ab ,ais-Moll
'heses ≈904* ab des-moll
a ≈906* ab G-Dur
'a ≈927 ab h-moll
,b ≈975* ab Des-Dur
,,ais ≈977* ab ,cis-Moll
b ≈996* ab F-Dur
,ais ≈998* ab H-Dur
'b 1018 in c-moll
,,h ≈1067 ab ,d-Moll
ces ≈1086* ab Ges-Dur
,h ≈1088* in C-Dur
'ces ≈1108* ab Ges-Dur
h ≈1110* ab A-Dur
'h ≈1131 ab cis-moll
,,c ≈1157 ab ,es-Moll
,c ≈1178* ab Es-Dur
,,his ≈1180* ab ,dis-Moll
c’ =1200 in C-Dur

Die Berechnung der Centwerte hier können nach folgendem Schema vorgenommen werden. Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent errechnet sich nach der pythagoreischen Quintenzirkel zu ...es=300-3p b=1000-2p f=500-p c=0 g=700+p d=200+2p a=900+3p ... nach Halbtönen geordnet:

Gleichstufg pythagoreisch enharmonisch
0 c=0 his=12p
100 cis=100+7p des=100-5p
200 d=200+2p eses=200-10p
300 dis=300+9p es=300-3p
400 e=400+4p fes=400-8p
500 f=500-p eis=500+11p
600 fis=600+6p ges=600-6p
700 g=700+p asas=700-11p
800 gis=800+8p as=800-4p
900 a=900+3p heses=900-9p
1000 ais=1000+10p b=1000-2p
1100 h=1100+5p ces=1100-7p
1200 c=1200 deses=1200-12p

Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent und K = syntonisches Komma ≈ 21,5 Cent errechnet sich zum Beispiel:

  • ,,cis = (100+7p-2K) Cent = 71 Cent (=Intervall c ,,cis = Intervall von c nach ,,cis)
  • 'as = 800-4p+K = 814 Cent (=Intervall von c 'as)
  • Intervall ,,cis 'as = (700-11p+3K) Cent = 743 Cent.
    Frequenzverhältnis 2(700-11p+3K)/1200= 192/125[8]
Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis.

Mit den 53 durch Kreismarken im Außenbereich der Oktavkreis-Graphik[9] platzierten Tönen sind die 15 Durtonleitern mit den Quinttönen ces|ges...c ...fis|cis als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,as|,es...,a...,dis|,ais eine kleine Terz unter den Quinttönen liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Gleichstufige Stimmung

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Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Intervallraum mit den folgenden Intervallen:

Intervall Darstellung Größe in Cent
Halbton H =100
Ganzton 2H =200
kleine Terz 3H =300
große Terz 4H =400
ausführliche Tabelle

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen

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Die Grundlage dieser Stimmung ist der 53-stufige Intervallraum . Die Oktave wird hierbei in 53 gleiche Teile geteilt.

Zu Zeiten Zarlinos (1517–1590) lehrte man in Musikschulen, dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.

  • cd=fg=ah=9 Teile (großer Ganzton)
  • de=ga=8 Teile (kleiner Ganzton)
  • ef=hc=5 Teile (diatonischer Halbton)

Notiert man den Abstand der Tonleiter von c aus in Klammer und den Abstand zwischen den Tönen tiefer geschrieben, so lautet die C-Dur-Tonleiter:

c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)

,e („Tiefkomma e“) bedeutet hier in Abwandlung der Eulerschen Schreibweise: „,e erklingt 1/53 Oktave tiefer als e“ usw.[10]

Die Tonleiter wird also hier in 53 Teile geteilt, wobei

große Terz c,e = 17 Teile
Quinte = cg = 31 Teile[11]

Die Tonleitern des Quintenzirkel von c aus notiert. In Klammer die Stufe der 53-Skala:

C-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
G-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)     c(53)
D-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)  ,cis(57)
A-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
E-Dur:  ,cis(4) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
H-Dur:   cis(5) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Cis-Dur: cis(5)  dis(14) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44) ,his(53)   cis(58)
C-Dur:     c(0)     d(9)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
F-Dur:     c(0)    ,d(8)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)    b(44)     c(53)
B-Dur:     c(0)    ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   ,a(39)    b(44)     c(53)
Es-dur:   ,c(52)   ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
As-dur:   ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
Des-dur:  ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)    ,c(52)
Ges-dur: ces(48)    des(4) ,es(12)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)   ces(48)
Ces-dur: ces(48)    des(4) ,es(12) fes(17)  ges(26)  ,as(34)   ,b(43)   ces(48)

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“[12]

Stufe Abstand von c in Cent reine Stimmung in Cent
00 0 c=0 ,his=2
01 23 'c=22 his=23
02 45 ,,,cis=49
03 68 ,,cis=71
04 91 des=90 ,cis=92
05 113 ’des=112 cis=114
06 136 ’’des=133
07 158 ,,d=161
08 181 ,d=182 ,,cisis=184
09 204 'eses=202 d=204 ,cisis=206
10 226 'd=225 cisis=227
11 249 ,,,dis=253
12 272 ,es=273 ,,dis=275
13 294 es=294 ,dis=296
14 317 ’es=316 dis=318
15 340 ’’es=337
16 362 ,,e=365
17 385 fes=384 ,e=386
18 408 ’fes=406 e=408
19 430 'e=429
20 453 ,,,eis=257 '''fes=449
21 475 ,f=477 ,,eis=478
22 498 f=498 ,eis=500
23 521 'f=520 eis=522
24 543 ,,,fis=547
25 566 ,,fis=569
26 589 ges=588 ,fis=590
27 611 ’ges=610 fis=612
28 634 "ges=631
29 657 ,,g=659
30 679 ,g=680 ,,fisis=682
31 702 g=702 ,fisis=704
32 725 'g=723 fisis=725
33 747 ,,,gis=751
34 770 ,as=771 ,,gis=772
35 792 as=792 ,gis=794
36 815 ’as=814 gis=816
37 838 "as =835
38 860 ,,a=863
39 883 ,a=884 ,,gisis=886
40 906 'heses=904 a=906
41 928 'a=927 gisis=929
42 951 ,,,ais=955
43 974 ,b=975 ,,ais=977
44 996 b=996 ,ais=998
45 1019 ’b=1018 ais=1020
46 1042 "b=1039
47 1064 ,,h=1067
48 1087 ces=1086 ,h=1088
49 1109 ’ces=1108 h=1110
50 1132 'h=1131
51 1155 ,,c=1157
52 1177 ,c=1178 ,,his1180
53 1200 c=1200

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

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Intervall Größe in Cent Stufe im 53-System Größe in Cent Unterschied genau
diat. Halbton 111,731 05 113,208 −1,476
kleiner Ganzton 182,404 08 181,132 +1,272
großer Ganzton 203,910 09 203,774 +0,136
kleine Terz 316 14 317 −1,34
große Terz 386 17 385 +1,40
Quarte 498 22 498 −0,07
Tritonus 590 26 589 +0,07
Quinte 702 31 702 −1,41
kleine Sext 814 36 815 −1,01
große Sext 884 39 883 +1,34
Kleine Septime I 996 44 996 −0,14
Kleine Septime II 1018 45 1019 −1,27
große Septime 1088 48 1087 +1,47
Oktave 1200 53 1200 0,00

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his / des und ,cis / 'es und dis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Stimmungen, dargestellt innerhalb der 53-Mercatorskala

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Der Darstellung der verschiedenen Stimmungen mit der Größe als Vielfache von k ist besonders übersichtlich.

k=1200:53 = 22,642 Cent. Die jeweilige (gerundete Darstellung) hat eine Genauigkeit von 1 Cent.

Intervallgröße

Intervall pythagoreisch rein mtteltönig
c-d 9k 9k 81/2k
d-e 9k 8k 81/2k
e-f 4k 5k 51/4k
f-g 9k 9k 81/2k
g-a 9k 8k 81/2k
a-h 9k 9k 81/2k
h-c 4k 5k 51/4k

Die 53-stufige Skala in reiner Stimmung nach Tanaka

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Tanaka Shōhei betrachtet in seiner Dissertation 1890 die folgende 53-Skala in reiner Stimmung. Er verwendet dabei die Eulerschreibweise (mit Unter- und Oberstrich statt Tief- und Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

  • Waagrechte Tonfolgen sind reine Quinten mit dem Frequenzverhältnis 3/2; zum Beispiel c g d …
  • Tonfolgen schräg nach links unten sind reine Großterzen mit dem Frequenzverhältnis 5/4; zum Beispiel c 'as ''fes …
  • Tonfolgen schräg nach rechts unten sind reine Kleinterzen mit dem Frequenzverhältnis 6/5; zum Beispiel c 'es ''ges …
    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b

Erweitert man diese waagrechten und schrägen Tonfolgen, kann man auf den Tonvorrat der 53-Skala zurückgreifen, wenn man Töne - obgleich numerisch verschiedenartig - enharmonisch „schismatisch“ (±S) bzw. „kleismatisch“ (±K) verwechselt.

S: Schismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel ,his-c oder h-'ces usw. unterscheiden sich um ein Schisma = Pythagoreisches Komma - Syntonisches Komma ≈ 2 Cent.

K: Kleismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel '''des-,,,cisis oder '''fes-,,,eis oder c-,,,,,,hisis usw. unterscheiden sich um ein Kleisma = 2Oktaven - 6(kleineTerzen) - Quarte = 6Großterzen - 5Quinten + Oktave ≈ 8 Cent.[13]

Zum Beispiel:

  • In der Quintenfolge c g d a e h kann man h durch 'ces ersetzten mit einer Ungenauigkeit von einem Schisma.
  • In der Großterzenfolge c 'as ''fes '''des kann man '''des ersetzten durch ,,,cis mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.
  • In der Kleinterzenfolge c 'es ''ges ''bb (Tanakas Schreibweise bb=heses) kann man das ''bb ersetzen durch ,,,,ais mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.

Erläuterung zur Originaltabelle von Tanaka: Setzt man das Parallelogramm nach allen Seiten fort, so erhält man:

oben je einen Ton zusätzlich rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darüber

  ,,,,dis  ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
    /  \    / \    /  \     /  \    /  \     /  \       / \        /   \    /    \   /
   /    \  /   \  /    \   /    \  /    \   /    \     /   \      /     \  /      \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis  ,,,gis     ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis      ,,,his   ,,,fisis ,,,cisis

unten je einen Ton rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darunter

       ''asas  ''eses   ''bb   ''fes   ''ces   'ges   ''des   ''as  ''es   ''b     ''f
        /  \      /\      / \    /  \     / \     / \    / \    / \   /  \   /  \    /  \
       /    \    /  \    /   \  /    \   /   \   /   \  /   \  /   \ /    \ /    \  /    \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces  '''ges '''des '''as

Die enharmonischen Verwechslungen sind hierbei oben

,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S (K=Kleisma≈8 Cent, S=Schisma≈2 Cent)

,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K

,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

und unten

''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S

'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K

'bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

„Wenn man sich damit begnügt, in den äußersten Modulationsfällen, d.h. wenn die Töne außerhalb der Grenzen eines Parallelogramms zur Anwendung gebracht werden, die beiden Verwechslungen wirklich eintreten zu lassen, so gestattet die 53stufige Leiter absolute Freiheit der Modulation nach allen Richtungen.“

Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise

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In der additiven Schreibweise für Intervalle, die seit Zarlino verwendet wird, sind die benachbarten Intervalle der reinen C-Dur-Tonleiter:

  • c-d = 9 Teile, d-e = 8 Teile, e-f = 5 Teile, f-g = 9 Teile, g-a = 8 Teile, a-h = 9 Teile und h-c′ = 5 Teile.[14]

In dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e = f-a = g-h = 17 Teile rein (Frequenzverhältnis 5/4), die Quinten F-c = c-g = e-h= g-d′ = a-e′ = 31 Teile rein (Frequenzverhältnis 3/2) und die Oktave c-c′ = 53 Teile rein (Frequenzverhältnis 2/1).

Wenn wir nun, um weitere Tonleitern spielen zu können, weitere Halbtöne dazwischen einfügen, kommt das System sofort durcheinander, da sich die Ganztöne (groß = 9 Teile, klein = 8 Teile) verändern. (Theoretisch entstehen die beiden verschiedenen Ganztöne durch Überlegungen in der Harmonik. In Melodien kann der Unterschied vernachlässigt werden.) Bei der mitteltönigen Stimmung werden diese beiden Ganztöne gemittelt.

Die C-Dur-Tonleiter lautet dann:

  • c-d = 81/2 Teile, d-e = 81/2 Teile, e-f = 51/4 Teile, f-g = 81/2 Teile, g-a = 81/2 Teile, a-h = 81/2 Teile und h-c′ = 51/4 Teile.[15]

Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e, f-a und g-h rein, die Quinten F-c = c-g = g-d′ = d-a = a-e′ = e-h = 303/4 Teile groß (also 1/4 Teil kleiner als die reine Quinte).

Vier mitteltönige Quinten und die damit erhaltene reine Terz

A-Dur-Kadenz
Geringen Schwebungen in den Quinten,
aber keine Schwebung bei der reinen Terz.

Bei der mitteltönigen Stimmung kann nun die C-Durtonleiter um weiteren Halbtönen ohne Probleme ergänzt werden, oft folgendermaßen:

  • cis-d = d-es = fis-g = gis-a = a-b = 53/4 Teile.

Wie hier die C-Dur-Tonleiter sind nun auch die Tonleitern in B-, F-, G-, D- und A-Dur aufgebaut.

Enharmonisch verwechselte Töne unterscheiden sich allerdings um 2 Teile, wie der folgenden Tabelle entnommen werden kann. Modulation C-Dur nach G-Dur

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

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Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.[16] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.[17]

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

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Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar wird ein eindeutiges Intervall von zu zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist durch der Endton eindeutig bestimmt.

Die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition: Ist und , dann ist .

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben , wenn der Endton von höher als der Endton von bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Zum Messen der Intervallgröße eignet sich als Maßeinheit die Oktave mit der Untereinheit Cent mit 1200 Cent = 1 Oktave.

Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr so groß wie sieben Oktaven. Daraus folgt: 12 Quinten ≈ 7 Oktaven, also Quinte ≈ Oktave = 700 Cent.

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

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  • Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = 712 Oktave = 700 Cent. Entsprechend:
  • Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = 13 Oktave =400 Cent.[18] Hier kann man nun weiter rechnen:
  • Kleine Terz = Quinte − große Terz = 14 Oktave =300 Cent und
  • Halbton = Große Terz − kleine Terz = 112 Oktave =100 Cent.
  • So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen.[16]

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

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Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat eine Größe von 9 Teilen, der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen.

verminderte Terz B-Gis = 10 Teile

Neapolitanischer Sextakkord

Hieraus folgt:

  • Oktave = 1200 Cent = 3 große Ganztöne + 2 kleine Ganztöne + 2 diatonische Halbtöne = 53 Teile
  • große Terz = großer Ganzton + kleiner Ganzton = 17 Teile = 385 Cent
  • kleine Terz = großer Ganzton + diatonischer Halbton = 14 Teile = 317 Cent
  • Quinte = große Terz + kleine Terz = 31 Teile = 702 Cent[19]

Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.

  • diatonischer Halbton = 5 Teile
  • kleiner Ganzton = 8 Teile
  • Großer Ganzton = 9 Teile
  • verminderte Terz (siehe nebenstehendes Beispiel B - Gis = B-A (5Teile) + A-Gis (5 Teile) = 10 Teile

Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok =Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier[16])

  • 53 Q = 31 Ok (kein Unterschied zwischen Ausgangston und oktaviert nach 53 Quinten hörbar)
  • 12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (kein Unterschied zwischen syntonischem Komma und pythagoreischem Komma hörbar). Umgeformt ergibt sich 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalische interpretiert: kein Unterschied zwischen gis und 'as. (Der genaue Unterschied zwischen gis und 'as ist ein Schisma = 2 Cent.).

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = 1/53Ok:

  • Ok = 53k
  • Q = 31k
  • gT = 17k[20]

Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

  • Quarte = Ok - Q = 22k
  • kleine Terz = Q - gT = 14k
  • großer Ganzton = 2Q - Ok = 9k
  • kleiner Ganzton = gT - großer Ganzton = 8k
  • diatonischer Halbton = gT - kleine Terz = 5k

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

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Axiom: Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt:

  • f(Ok) = 2
  • f(Q) = 3/2 und
  • f(gT) = 5/4

Homomorphismus besagt: f(i1 +i2) = f(i1)•f(i2) und f(r•i) = f(i)r für Intervalle i1, i2 und i sowie für eine reelle Zahl r[21].

Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:

  • f(r•Ok) = 2r = 3/2 also Q = log2(3/2)Ok = 701,955 Cent
  • f(s•Ok) = 2s = 5/4 also gT = log2(5/4)Ok = 386,314 Cent.

Beispiele ausführlich

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Intervalle der gleichstufigen Stimmung

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Die 12-stufige Tastatur
Frequenzverhältnis Intervallgröße in Cent Intervallbezeichnung
1 0 Prim
100 gleichstufiger Halbton
200 gleichstufiger Ganzton
300 gleichstufige kleine Terz
400 gleichstufige große Terz
500 gleichstufige Quarte
600 gleichstufiger Tritonus
700 gleichstufige Quinte
800 gleichstufige kleine Sexte
900 gleichstufige große Sexte
1000 gleichstufige kleine Septime
1100 gleichstufige große Septime
2 1200 Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

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Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es u. s. w.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, …, Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des*-Es, Des*-E, …, D-Dis*, D-Es, D-E, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).
Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
Cis-Des* Deses 524288/531441 −23,460 −12Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sekunde = −Pythagoreisches Komma[22]
E-F Des 256/243 90,225 −5Q + 3Ok pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis Cis 2187/2048 113,685 7Q − 4Ok pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-Es Eses 65536/59049 180,450 −10Q + 6Ok pythagoreische verminderte Terz
C-D D 9/8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des*-Dis* Cisis 4782969/4194304 227,370 14Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis*-Ges* Feses 16777216/14348907 270,675 −15Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Quarte
D-F Es 32/27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz
Es-Fis Dis 19683/16384 317,595 9Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-F Fes 8192/6561 384,360 −8Q + 5Ok pythagoreische verminderte Quarte
C-E E 81/64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreische große Terz = Ditonos
Ges*-Ais* Disis 43046721/33554432 431,280 16Q − 9Ok pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges* Geses 2097152/1594323 474,585 −13Q + 8Ok pythagoreische doppeltverminderte Quinte
C-F F 4/3 498,045 −Q + Ok Quarte
Es-Gis Eis 177147/131072 521,505 11Q − 6Ok pythagoreische übermäßige Terz
E-B Ges 1024/729 588,270 −6Q + 4Ok pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis Fis 729/512 611,730 6Q − 3Ok pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-es Asas 262144/177147 678,495 −11Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sexte
C-G G 3/2 701,955 Q Quinte
Es-Ais* Fisis 1594323/1048576 725,415 13Q − 7Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais*-ges* Heseses 67108864/43046721 768,720 −16Q + 10Ok pythagoreische doppelt verminderte Septime
E-c As 128/81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sext
C-Gis Gis 6561/4096 815,640 8Q − 4Ok pythagoreische übermäßige Quinte
Cis-B Heses 32768/19683 882,405 −9Q + 6Ok pythagoreische verminderte Septime
C-A A 27/16 905,865 3Q − Ok pythagoreische große Sexte
Des*-Ais* Gisis 14348907/8388608 929,325 15Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis*-des* ceses 8388608/4782969 972,630 −14Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-B B 16/9 996,090 −2Q + 2Ok pythagoreische kleine Septime
Es-cis Ais 59049/32768 1019,550 10Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sexte
Cis-c ces 4096/2187 1086,315 −7Q + 5Ok pythagoreische verminderte Oktave
C-H H 243/128 1109,775 5Q − 2Ok pythagoreische große Septime
Cis-des* deses 1048576/531441 1176,540 −12Q + 8Ok pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sekunde)
C-c c 2/1 1200 Ok Oktave

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung

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Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*)-(Es), (Des*)-(E), …, (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Qm = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Qm − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*) (Deses) 128:125 41,059 −12Qm + 7Ok = −3T + Ok (größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis
(C)-(Cis) (Cis) (5:16)w3 76,049 7Qm − 4Ok = 2T − Qm chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F) (Des) (8:25)w3 117,108 −5Qm + 3Ok = −T − Qm + Ok diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des*)-(Dis*) (Cisis) (125:256)w2 152,098 14Qm − 8Ok = 4T − 2Qm mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D) (D) (1:2)w2 193,157 2Qm − Ok mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es) (Eses) (64:125)w2 234,216 −10Qm + 6Ok = −3T + 2Qm mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis) (Dis) (25:32)w 269,206 9Qm − 5Ok = 2T + Qm − Ok mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F) (Es) (4:5)w 310,265 −3Qm + 2Ok = −T + Qm mitteltönige kleine Terz
(Ges*)-(Ais*) (Disis) 625:512 345,255 16Qm − 9Ok = 4T − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*) (Feses) (512:625)w 351,324 −15Qm + 9Ok = −4T + Qm + Ok mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E) (E) 5:4 386,314 4Qm − 2Ok = T große Terz
(Cis)-(F) (Fes) 32:25 427,373 −8Qm + 5Ok = −2T + Ok verminderte Quarte
(Es)-(Gis) (Eis) (25:64)w3 462,363 11Qm − 6Ok = 3T − Qm mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F) (F) (2:5)w3 503,422 −Qm + Ok mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*) (Geses) (256:625)w3 544,480 −13Qm + 8Ok = −3T − Qm + 2Ok mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H) (Fis) (5:8)w2 579,471 6Qm − 3Ok = T + 2Qm − Ok mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G) (Ges) (16:25)w2 620,529 −6Qm + 4Ok = −2T + 2Qm mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis) (Fisis) (125:128)w 655,520 13Qm − 7Ok = 3T + Qm − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G) (G) w 696,578 Qm mitteltönige Quinte
(Gis)-(es) (Asas) (128:125)w 737,637 −11Qm + 7Ok = −3T + Qm + Ok mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis) (Gis) 25:16 772,627 8Qm − 4Ok = 2T kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c) (As) 8:5 813,686 −4Qm + 3Ok = −T + Ok kleine Sexte
(Des*)-(Ais*) (Gisis) (125:256)w3 848,676 15Qm − 8Ok = 4T − Qm mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*) (Beses) 1024:625 854,745 −16Qm + 10Ok = 4T + 2Ok mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A) (A) (1:2)w3 889,735 3Qm − Ok = T − Qm + Ok mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B) (Bes) (64:125)w3 930,794 −9Qm + 6Ok = −2T − Qm + 2Ok mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis) (Ais) (25:32)w2 965,784 10Qm − 5Ok = 2T + 2Qm − Ok mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c) (B) (4:5)w2 1006,843 −2Qm + 2Ok mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*) (ceses) (512:625)w2 1047,902 −14Qm + 9Ok = −4T + 2Qm + Ok mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H) (H) (5:4)w 1082,892 5Qm − 2Ok = T + Qm mitteltönige große Septime
(Cis)-(c) (ces) (32:25)w 1123,951 −7Qm + 5Ok = −2T + Qm + Ok mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*) (his) 125:64 1158,941 12Qm − 6Ok = 3T übermäßige Septime
(C)-(c) (c) 2:1 1200 Ok Oktave

Intervalle der reinen Stimmung

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Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C ’Des D ’Es,E F,Fis G ’As,A ’B,H C wird berechnet jedes der Intervalle: C-,Cis / C-’Des / C-D / C-,,Dis / C-’Es / C-,E / … / ,Cis-,,Dis /,Cis-’Es /,Cis-,E /,Cis-F /,Cis-,Fis / … / D-,,Dis / D-’Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »C D ,E F G ,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »C D ’Es F G ’As ’B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-’Es-G / F-,A-c / F-’As-c / G-,H-D und G-’B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-’Des /,Cis-D / ,,Dis-,E / F-’Ges /,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Q = Quinte und
  • T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervall von C aus bis Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
Des-,Cis ,His 32805:32768 1,954 T + 8Q − 5Ok kleine übermäßige Septime − Oktave, Schisma
,Cis-’Des ’’Deses 2048:2025 19,553 −2T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-’Es ’’’Deses 128:125 41,059 −3T + Ok (größere) verminderte Sekunde, kleine Diësis
D-,,Dis ,,Cis 25:24 70,672 2T − Q (kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-,Cis ,Cis 135:128 92,179 T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
,E-F ’Des 16:15 111,731 −T − Q + Ok kleine Sekunde, diatonischer Halbton
,A-’B ’’Des 27:25 133,238 −2T + 3Q − Ok (größere) kleine Sekunde, großes Limma,
’Des-,,Dis ,,,Cisis 1125:1024 162,851 3T + 2Q − 2Ok doppelt übermäßige Prim
D-,E ,D 10:9 182,404 T − 2Q + Ok kleiner Ganzton (kleinere Große Sekunde)
C-D D 9:8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreischer Ganzton (größere große Sekunde)
,E-’Ges ’’Eses 256:225 223,463 −2T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Terz
,,Gis-’B ’’’Eses 144:125 244,969 −3T + 2Q (größere) verminderte Terz
C-,,Dis ,,Dis 75:64 274,582 2T + Q − Ok übermäßige Sekunde
D-F Es 32:27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-’Es ’Es 6:5 315,641 −T + Q kleine Terz
,,Dis-’Ges ’’’Feses 4096:3375 335,194 −3T − 3Q + 3Ok doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais ,,,Disis 10125:8192 366,761 3T + 4Q − 3Ok doppelt übermäßige Sekunde
C-,E ,E 5:4 386,314 T große Terz
D-’Ges ’Fes 512:405 405,866 −T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis E 81:64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-’As ’’Fes 32:25 427,373 −2T + Ok verminderte Quarte
’Es-,,Gis ,,,Eis 125:96 456,986 3T − Q (kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais ,,Eis 675:512 478,492 2T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Terz
C-F F 4:3 498,045 −Q + Ok Quarte
,Cis-’Ges ’’Geses 8192:6075 517,598 −2T − 5Q + 4Ok doppelt verminderte Quinte
,A-d ’F 27:20 519,551 −T + 3Q − Ok unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
,,Dis-’As ’’’Geses 512:375 539,104 −3T − Q + 2Ok doppelt verminderte Quinte
D-,,Gis ,,Fis 25:18 568,717 2T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Quarte
’Ges-,cis ,,Fisis 6075:4096 682,402 2T + 5Q − 3Ok doppelt verminderte Quarte
C-,Fis ,Fis 45:32 590,224 T + 2Q − Ok Tritonus, übermäßige Quarte
,Fis-c ’Ges 64:45 609,776 −T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Quinte
,A-’es ’’Ges 36:25 631,283 −2T + 2Q (größere) verminderte Quinte
’Es-,,Ais ,,,Fisis 375:256 660,896 3T + Q − Ok doppelt übermäßige Quarte
D-,A ,G 40:27 680,449 T − 3Q + 2Ok unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-G G 3:2 701,955 Q Quinte
,H-’ges ’’Asas 1024:675 721,508 −2T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-’B ’’’Asas 192:125 743,014 −3T + Q + Ok (größere) verminderte Sexte
C-,,Gis ,,Gis 25:16 772,627 2T kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,A As 128:81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sexte
F-,cis ,Gis 405:256 794,134 T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Quinte
,E-c ’As 8:5 813,686 −T + Ok kleine Sexte
,,Ais-’ges ’’’Beses 16384:10125 833,239 −3T − 4Q + 4Ok doppelt verminderte Septime
’Des-,,Ais ,,,Gisis 3375:2048 864,806 3T + 3Q − 2Ok doppelt übermäßige Quinte
C-,A ,A 5:3 884,359 T − Q + Ok große Sexte
F-d A 27:16 905,865 3Q − Ok pyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-’des ’’Bes 128:75 925,418 −2T − Q + 2Ok (größere) verminderte Septime
’B-,,gis ,,,Ais 125:72 955,031 3T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais ,,Ais 225:128 976,537 2T + 2Q − Ok (größere) übermäßige Sexte
D-c B 16:9 996,090 −2Q + 2Ok kleinere kleine Septime (= Oktave − großer Ganzton)
C-’B ’B 9:5 1017,596 −T + 2Q größere kleine Septime (= Oktave − kleiner Ganzton)
,,Dis-’des ’’’ceses 2048:1125 1037,149 −3T − 2Q + 3Ok doppelt verminderte Oktave
’B-,,ais ,,,his 125:64 1158,941 3T übermäßige Septime
’B-,a ,,H 50:27 1066,762 2T − 3Q + 2Ok (kleinere) große Septime
C-,H ,H 15:8 1088,269 T + Q große Septime
,Cis-c ’ces 256:135 1107,821 −T − 3Q + 3Ok (kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d ’’ces 48:25 1129,328 −2T + Q + Ok (größere) verminderte Oktave
’Des-,cis ,,his 2025:1024 1180,447 2T + 4Q − 2Ok (größere) überm. Septime
C-c c 2:1 1200 Ok Oktave

Intervalle nach Größe geordnet

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Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,578 Cent).

C-,Cis-’Des-D-,,Dis-’Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
  • Qm = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis )
  • T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).
Intervalle von C
aus bis
Frequenzverhältnis in Cent Berechnung Intervallbezeichnung
C-C C 1:1     0 Prim
,His 32805:32768     1,954 8Q + T − 5Ok Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
'''Fes-,,,Eis ,,,,,,Hisis 15625:15552     8,107 6T-5Q+Ok Kleisma
,Cis-’Des ’’Deses 2048:2025   19,553 −2T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
’C 81:80   21,506 4Q − T − 2Ok syntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und,d(F-dur)
Des*-Cis His 531441:524288   23,460 12Q − 7Ok pythagoreisches Komma
(Dis)-(Es)
=,,Dis-’Es
(Deses)
=’’’Deses
128:125   41,059 −12Qm + 7Ok = −3T + Ok (in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
’’’’Deses 648:625   62,565 4Q − 4T − Ok große Diësis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis ,,Cis 25:24   70,672 2T − Q (kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis) (Cis) (5:16)w3   76,049 7Qm − 4Ok chromatischer mitteltöniger Halbton
E-F Des 256:243   90,225 −5Q + 3Ok pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis ,Cis 135:128   92,179 T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
100 (1:12)Ok kleine gleichstufige Sekunde
,E-F ’Des 16:15 111,731 −T − Q + Ok kleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-Cis Cis 2187:2048 113,685 7Q − 4Ok pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F) (Des) (8:25)w3 117,108 −5Qm + 3Ok diatonischer mitteltöniger Halbton
,A-’B ’’Des 27:25 133,238 −2T + 3Q − Ok (größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des*)-(Dis*) (Cisis) (125:256)w2 152,098 14Qm − 8Ok mitteltönige doppelt übermäßige Prim
’Des-,,Dis ,,,Cisis 1125:1024 162,851 3T + 2Q − 2Ok doppelt übermäßige Prim
Cis-Es Eses 65536:59049 180,450 −10Q + 6Ok pythagoreische verminderte Terz
D-,E ,D 10:9 182,404 T − 2Q + Ok kleiner Ganzton
(C)-(D) (D) (1:2)w2 193,157 2Qm − Ok mitteltöniger Ganzton
200 (2:12)Ok große gleichstufige Sekunde
C-D D 9:8 203,910 2Q − Ok großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
,E-’Ges ’’Eses 256:225 223,463 −2T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Terz
Des*-Dis* Cisis 4782969:4194304 227,370 14Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es) (Eses) (64:125)w2 234,216 −10Qm + 6Ok mitteltönig verminderte Terz
,,Gis-’B ’’’Eses 144:125 244,969 −3T + 2Q (größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis) (Dis) (25:32)w 269,206 9Qm − 5Ok mitteltönige übermäßige Sekunde
Dis*-Ges* Feses 16777216:14348907 270,675 −15Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis ,,Dis 75:64 274,582 2T + Q − Ok übermäßige Sekunde
D-F Es 32:27 294,135 −3Q + 2Ok pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
300 (3:12)Ok kleine gleichstufige Terz
(D)-(F) (Es) (4:5)w 310,265 −3Qm + 2Ok mitteltönige kleine Terz
C-’Es ’Es 6:5 315,641 −T + Q kleine Terz
Es-Fis Dis 19683:16384 317,595 9Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-’Ges ’’’Feses 4096:3375 335,194 −3T − 3Q + 3Ok doppelt verminderte Quarte
(Ges*)-(Ais*) (Disis) 625:512 345,255 16Qm − 9Ok = 4T − Ok mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis) = ,,,,Disis.
(Dis*)-(Ges*) (Feses) (512:625)w 351,324 −15Qm + 9Ok mitteltönig doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais ,,,Disis 10125:8192 366,761 3T + 4Q − 3Ok doppelt übermäßige Sekunde
Cis-F Fes 8192:6561 384,360 −8Q + 5Ok pythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E)
=C-,E
(E)
=,E
5:4 386,314 4Qm − 2Ok = T große Terz
400 (4:12)Ok große gleichstufige Terz
D-’Ges ’Fes 512:405 405,866 −T − 4Q + 3Ok (kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis E 81:64 407,820 4Q − 2Ok pythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F)
=,E-’As
(Fes)
=’’Fes
32:25 427,373 −8Qm + 5Ok = Ok − 2T verminderte Quarte
Ges*-Ais* Disis 43046721:33554432 431,280 16Q − 9Ok pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
’Es-,,Gis ,,,Eis 125:96 456,986 3T − Q (kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis) (Eis) (25:64)w3 462,363 11Qm − 6Ok mitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges* Geses 2097152:1594323 474,585 −13Q + 8Ok pythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais ,,Eis 675:512 478,492 2T + 3Q − 2Ok (größere) übermäßige Terz
C-F F 4:3 498,045 −Q + Ok Quarte
500 (5:12)Ok gleichstufige Quarte
(C)-(F) (F) (2:5)w3 503,422 −Qm + Ok mitteltönige Quarte
,Cis-’Ges ’’Geses 8192:6075 517,598 −2T − 5Q + 4Ok doppelt verminderte Quinte
,A-d ’F 27:20 519,551 −T + 3Q − Ok unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Es-Gis Eis 177147:131072 521,505 11Q − 6Ok pythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-’As ’’’Geses 512:375 539,104 −3T − Q + 2Ok doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*) (Geses) (256:625)w3 544,480 −13Qm + 8Ok mitteltönig doppelt verminderte Quinte
11:8 551,318 Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis ,,Fis 25:18 568,717 2T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H) (Fis) (5:8)w2 579,471 6Qm − 3Ok mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltöniger Tritonus
E-B Ges 1024:729 588,270 −6Q + 4Ok pythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis ,Fis 45:32 590,224 T + 2Q − Ok Tritonus, übermäßige Quarte
600 (6:12)Ok gleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c ’Ges 64:45 609,776 −T − 2Q + 2Ok (kleinere) verminderte Quinte
C-Fis Fis 729:512 611,730 6Q − 3Ok pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
(Cis)-(G) (Ges) (16:25)w2 620,529 −6Qm + 4Ok mitteltönige verminderte Quinte
,A-’es ’’Ges 36:25 631,283 −2T + 2Q (größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis) (Fisis) (125:128)w 655,520 13Qm − 7Ok mitteltönig doppelt übermäßige Quarte
’Es-,,Ais ,,,Fisis 375:256 660,896 3T + Q − Ok doppelt übermäßige Quarte
Gis-es Asas 262144:177147 678,495 −11Q + 7Ok pythagoreische verminderte Sexte
D-,A ,G 40:27 680,449 T − 3Q + 2Ok unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
’Ges-,cis ,,Fisis 6075:4096 682,402 2T + 5Q − 3Ok doppelt verminderte Quarte
(C)-(G) (G) w 696,578 Qm mitteltönige Quinte
700 (7:12)Ok gleichstufige Quinte
C-G G 3:2 701,955 Q Quinte
,H-’ges ’’Asas 1024:675 721,508 −2T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais* Fisis 1594323:1048576 725,415 13Q − 7Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es) (Asas) (128:125)w 737,637 −11Qm + 7Ok mitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-’B ’’’Asas 192:125 743,014 −3T + Q + Ok (größere) verminderte Sexte
Ais*-ges* Beses 67108864:43046721 768,720 −16Q + 10Ok pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis)
=C-,,Gis
(Gis)
=,,Gis
25:16 772,627 8Qm − 4Ok = 2T (In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
E-c As 128:81 792,180 −4Q + 3Ok pythagoreische kleine Sexte
F-,cis ,Gis 405:256 794,134 T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Quinte
800 (8:12)Ok kleine gleichstufige Sexte
,E-c ’As 8:5 813,686 −T + Ok kleine Sexte
C-Gis Gis 6561:4096 815,640 8Q − 4Ok pythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-’ges ’’’Beses 16384:10125 833,239 −3T − 4Q + 4Ok doppelt verminderte Septime
(Des*)-(Ais*) (Gisis) (125:256)w3 848,676 15Qm − 8Ok mitteltönige doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*) (Beses) 1024:625 854,745 −16Qm + 10Ok = −4T + 2Ok mitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ’’’’Beses.
’Des-,,Ais ,,,Gisis 3375:2048 864,806 3T + 3Q − 2Ok doppelt übermäßige Quinte
Cis-B Bes 32768:19683 882,405 −9Q + 6Ok pythagoreische verminderte Septime
C-,A ,A 5:3 884,359 T − Q + Ok große Sexte
(C)-(A) (A) (1:2)w3 889,735 3Qm − Ok mitteltönige große Sexte
900 (9:12)Ok große gleichstufige Sexte
C-A A 27:16 905,865 3Q − Ok pythagoreische große Sexte
,E-’des ’’Bes 128:75 925,418 −2T − Q + 2Ok (größere) verminderte Septime
Des*-Ais* Gisis 14348907:8388608 929,325 15Q − 8Ok pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B) (Bes) (64:125)w3 930,794 −9Qm + 6Ok mitteltönige verminderte Septime
’B-,,gis ,,,Ais 125:72 955,031 3T − 2Q + Ok (kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis) (Ais) (25:32)w2 965,784 10Qm − 5Ok mitteltönige übermäßige Sexte
7:4 968,826 i Nur zur Ergänzung: Die Naturseptime, der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis*-des* Ceses 8388608:4782969 972,630 −14Q + 9Ok pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais ,,Ais 225:128 976,537 2T + 2Q − Ok (größere) übermäßige Sexte
D-c B 16:9 996,090 −2Q + 2Ok pythagoreische kleine Septime
1000 (10:12)Ok kleine gleichstufige Septime
(D)-(c) (B) (4:5)w2 1006,843 −2Qm + 2Ok mitteltönige kleine Septime
C-’B ’B 9:5 1017,596 −T + 2Q kleine Septime
Es-cis Ais 59049:32768 1019,550 10Q − 5Ok pythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-’des ’’’ceses 2048:1125 1037,149 −3T − 2Q + 3Ok doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*) (ceses) (512:625)w2 1047,902 −14Qm + 9Ok mitteltönige doppelt verminderte Oktave
’B-,a ,,H 50:27 1066,762 2T − 3Q + 2Ok (kleinere) große Septime
(C)-(H) (H) (5:4)w 1082,892 5Qm − 2Ok mitteltönige große Septime
Cis-c Ces 4096:2187 1086,315 −7Q + 5Ok pythagoreische verminderte Oktave
C-,H ,H 15:8 1088,269 T + Q große Septime
1100 (11:12)Ok große gleichstufige Septime
,Cis-c ’ces 256:135 1107,821 −T − 3Q + 3Ok (kleinere) verminderte Oktave
C-H H 243:128 1109,775 5Q − 2Ok pythagoreische große Septime
(Cis)-(c) (ces) (32:25)w 1123,951 −7Qm + 5Ok mitteltönige verminderte Oktave
,,Dis-d ’’ces 48:25 1129,328 −2T + Q + Ok (größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*)
=’B-,,ais
(his)
=,,,his
125:64 1158,941 12Qm − 6Ok = 3T übermäßige Septime
Cis-des* deses 1048576:531441 1176,540 −12Q + 8Ok pythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sek.)
’Des-,cis ,,his 2025:1024 1180,447 2T + 4Q − 2Ok (größere) übermäßige Septime
C-c 2:1 1200 Ok Oktave
  1. Quellen: Rudolf Wille: Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios,dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main, ISBN 3-8204-9492-8.
  2. Cooper, Paul (1973). Perspectives in Music Theory: An Historical-Analytical Approach, S. 16. ISBN 0-396-06752-2. Zitat="common in most musical systems"
  3. Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung, bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
  4. Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
  5. Herleitung: Aus Quinte = k · Oktave folgt 3/2 = (Quinte) = (k · Oktave) = (Oktave)k = 2k, und aus 2k = 3/2 folgt k = log2 (3/2).
  6. Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.
  7. eclass.uoa.gr
  8. Beachte: 700-11p hat das Frequenzverhältnis: (2/3)11•27 (11 Quinten abwärts oktaviert, siehe asas) ⇒ 2(700-11p+3K)/1200 = (2/3)11•27•(81/80)3=192/125
  9. Die Tiefkommata bei den Tonnamen greifen die Bezeichnungen im Eulerschen Tonnetz auf. Die Farbe der Tonnamen korrespondiert mit jener der Kreismarken.
  10. Bei der Eulerschen Schreibweise - eine Notation für die reine Stimmung bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um das syntonische Komma = 21,5 Cent. Hier bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um 1200/53 Cent = 22,6 Cent. Eine Abweichung von 1 Cent kann man nicht vom Hören her unterscheiden.
  11. Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen. Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der großen Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma. Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
  12. Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2, (Exzerpt). Helmholtz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.
  13. Tanaka bemerkt dazu: Rameau berechnete das Intervall des Kleisma in der Tabelle auf S. 26 seines Buches "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726".
  14. Wir rechnen hier additiv mit der Zarlino-Schreibweise für Intervalle und nicht multiplikativ mit Frequenzverhältnissen, was eine ganz geringfügige Abweichung (maximal 2 Cent) von der reinen Stimmung bedeutet. Ein Teil hat die Größe von 1200:53 Cent = 22,6 Cent, was angenähert dem pythagoreischen Komma (23,5 Cent) bzw. dem syntonischen Komma (21,5 Cent) entspricht.
  15. Die Halbtöne e-f und h-c′ werden hier noch um 1/4 Teil vergrößert, damit die Oktave c-c′ mit 53 Teilen erreicht wird.
  16. a b c Winfried Neumaier S. 64ff. zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschrieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axioms, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
    Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 53 Quinten = 31 Oktaven (kein Hörunterschied mehr) und dies ergibt dann: Quinte=3153 Oktave=702 Cent. Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.
  17. Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main u. a. 1986, ISBN 3-8204-9492-8.
  18. Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = 928 Oktave =386 Cent.
  19. Die genauen Werte der Intervalle in der reinen Stimmung, die mit Hilfe der Frequenzverhältnisse berechnet werden, unterscheiden sich von den hier ermittelten Werten nur noch ganz geringfügig:
    • große Terz (rein) = 1200•log2(5/4) = 386 Cent
    • kleine Terz (rein) = 1200•log2(6/5) = 316 Cent
    • Quinte (rein) = 1200•log2(3/2) = 702 Cent
  20. Die Abweichung von der reinen Stimmung ist kleiner als ein Schisma (2 Cent).
    • Ok = 1200 Cent (Also k = 1200/53 Cent = 22,642 Cent)
    • Q = 1200*log2(3/2) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent
    • gT = 1200*log2(5/4)) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent
  21. Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum vorausgesetzt wird, gilt die Definition . Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Das Quint-Terz-System (der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT) enthält zum Beispiel nicht , da nicht existiert, nur beliebige Näherungen. Zum Beispiel
    • 2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
    • 6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent
    • 706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent
  22. Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.