Topologische Konjugation

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Von topologischer Konjugation spricht man in der Mathematik, wenn es einen Homöomorphismus gibt, der eine stetige Abbildung zu einer anderen konjugiert. Das Konzept ist in der Analyse dynamischer Systeme von größerer Bedeutung, und zwar besonders bei der Betrachtung diskreter Systeme.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien X und Y zwei metrische Räume und sowie zwei stetige Abbildungen. Dann heißen und topologisch konjugiert, wenn es einen Homöomorphismus gibt, so dass

Ist lediglich eine stetige surjektive Abbildung, so sagt man, dass und topologisch semikonjugiert sind.

Analog sagen wir, zwei Flüsse auf und auf sind topologisch konjugiert (topologisch semikonjugiert), wenn ein Homöomorphismus (eine stetige surjektive Abbildung) existiert, so dass

Diskussion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Konzept der topologischen Konjugation zweier Abbildungen ist besonders bei der Analyse der durch sie gegebenen dynamischen Systeme von großer Bedeutung. Denn es gibt eine Anzahl topologischer Invarianten, also topologischer Eigenschaften einer Abbildung , die unter der topologischen Konjugation invariant sind. In diesem Sinne kann man die topologische Konjugation als eine Art Koordinatentransformation betrachten.

Wir sehen aus obiger Definition induktiv sofort ein, dass

Hiermit können wir schließen, dass Orbits eines dynamischen Systems unter der topologischen Konjugation auf die Orbits des topologisch konjugierten dynamischen Systems abgebildet werden, und zwar periodische auf periodische Orbits und nichtperiodische auf nichtperiodische Orbits.

Weitaus bedeutender für die Analyse der Dynamik ist jedoch die Feststellung, dass auch Chaos eine topologische Invariante ist. Denn für die zwei topologisch konjugierten Abbildungen und gilt: ist genau dann chaotisch, wenn chaotisch ist.

Weitere Invarianten unter der topologischen Konjugation sind zum Beispiel topologische Transitivität, sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten und die topologische Entropie.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei

die logistische Abbildung. Es lässt sich nun mit Hilfe der topologischen Konjugation zeigen, dass für Parameterwerte von auf der wie folgt induktiv definierten Cantormenge chaotisch operiert:

und

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.