Torsion (Algebra)

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Torsion ist das Phänomen der kommutativen Algebra, also der Theorie der Moduln über kommutativen Ringen, das sie fundamental von der (einfacheren) Theorie der Vektorräume unterscheidet. Torsion ist verwandt mit dem Begriff des Nullteilers.

Globale Torsion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der einfachsten Form ist ein Torsionselement ein Element endlicher Ordnung in einer Gruppe oder einem Monoid, also ein Element , für das es eine natürliche Zahl gibt, so dass (bzw. in additiver Schreibweise) gilt.

Für den Torsionsbegriff der kommutativen Algebra sei ein (kommutativer) Ring (mit Einselement) und ein -Modul.

  • Die Torsion oder der Torsionsuntermodul von ist der Untermodul derjenigen Elemente , für die der Kern der Abbildung , , nicht nur Nullteiler enthält. In diesem Fall heißt Torsionselement.
  • Äquivalent dazu kann man den Torsionsuntermodul auch als den Kern des Homomorphismus
definieren, wenn den Totalquotientenring von bezeichnet.
  • heißt torsionsfrei, wenn der Torsionsuntermodul Null ist.
  • ist ein Torsionsmodul, wenn der Torsionsuntermodul gleich ist. Man sagt dann auch manchmal kurz: „ist Torsion“.

Ist eine abelsche Gruppe (also -Modul), so stimmen die beiden Definitionen von Torsionselementen überein. Man spricht dann analog von Torsions(unter)gruppen.

Einfache Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist der Torsionsuntermodul von , so ist torsionsfrei. Es gibt also einen kanonischen Torsionsuntermodul und einen kanonischen torsionsfreien Quotienten, jedoch nicht umgekehrt.
  • Das Bilden des Torsionsuntermoduls ist ein Funktor, d. h. ist ein Modulhomomorphismus, so bildet den Torsionsuntermodul von in den Torsionsuntermodul von ab. Auch im Fall von Gruppen bildet ein Homomorphismus Torsionselemente stets auf Torsionselemente ab.
  • Aus der alternativen Beschreibung des Torsionsuntermoduls als Kern einer Lokalisierung folgt unmittelbar, dass das Bilden des Torsionsuntermoduls ein linksexakter Funktor ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Torsionselemente der Gruppe sind unter anderem und , ihr Produkt hat dagegen unendliche Ordnung. In nicht abelschen Gruppen bilden die Torsionselemente also nicht notwendigerweise eine Untergruppe.
  • Ein anderes Beispiel für diese Tatsache ist die unendliche Diedergruppe
,
in der die Erzeuger Torsionselemente sind, aber beispielsweise nicht.
  • selbst, oder allgemeiner ein freier -Modul, ist torsionsfrei. Ist insbesondere ein Körper, so sind alle -Moduln torsionsfrei.
  • ist ein Torsionsmodul (über ) für jede natürliche Zahl . Allgemein ist für einen Ring und ein Ideal von , das nicht nur aus Nullteilern besteht, der Modul ein Torsionsmodul.
  • Ist ein Körper, so ist der Torsionsuntermodul von , aufgefasst als abelsche Gruppe bzw. -Modul, gleich der Gruppe der Einheitswurzeln in .

Abelsche Torsionsgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine abelsche Torsionsgruppe ist genau dann endlich erzeugt, wenn sie endlich ist.
  • Eine abelsche Torsionsgruppe ist die direkte Summe ihrer -primären Untergruppen für jede Primzahl , d. h. der Untergruppen der Elemente, deren Ordnung eine Potenz von ist. Die -primäre Untergruppe ist eine -Gruppe.
  • Wie das Beispiel der Faktorgruppe zeigt, sind die Ordnungen der Elemente im Allgemeinen nicht beschränkt; auch die -primäre Untergruppe hat bereits diese Eigenschaft.
  • Ist die Ordnung der Elemente beschränkt, so bedeutet das nicht, dass die Gruppe endlich erzeugt (und damit endlich) ist: In einem unendlichen direkten Produkt zyklischer Gruppen der Ordnung 2 hat jedes Element (außer dem neutralen Element) Ordnung 2.

Torsionsfreie abelsche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Torsionsfreie Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das folgende Diagramm fasst diese Implikationen für einen Modul über einem kommutativen Integritätsring zusammen:

Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg

Torsion bezüglich eines Ringelementes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein kommutativer Ring mit Einselement und ein -Modul. Im einfachsten Fall ist ; ist dann lediglich eine abelsche Gruppe.

Für ein Ringelement ist

ein Untermodul, der als die -Torsion von bezeichnet wird. (Die Verwechslungsgefahr mit der Notation für Lokalisierungen ist gering.) Auch die Notation ist üblich.

Der Modul

wird als -Torsion bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist auf natürliche Weise ein -Modul.
  • Der Funktor ist linksexakt (als darstellbarer Funktor vertauscht sogar mit beliebigen Limites); genauer gilt: ist
eine exakte Folge von -Moduln, so ist
exakt, wie unmittelbar aus dem Schlangenlemma folgt.
  • Der Torsionsuntermodul von ist die Vereinigung der für alle Nichtnullteiler .
  • Für Ringelemente ist .
  • Für eine abelsche Gruppe und eine Primzahl ist der -primäre Anteil der Torsion von .

Tate-Modul[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine abelsche Gruppe und eine Primzahl, so ist der projektive Limes

(die Übergangsabbildungen sind durch die Multiplikation mit gegeben) ein -Modul (ganze -adische Zahlen), der als -adischer Tate-Modul von (nach John Tate) bezeichnet wird. Durch den Übergang zu

erhält man einen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0; dies ist insbesondere für darstellungstheoretische Betrachtungen vorteilhaft.

Das wichtigste Beispiel für diese Konstruktion ist der Tate-Modul zu einer elliptischen Kurve über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper, dessen Charakteristik nicht ist. Der Tate-Modul ist als -Modul isomorph zu und trägt eine natürliche Operation der Galoisgruppe. Im Fall der multiplikativen Gruppe ist der zugehörige Tate-Modul vom Rang 1. Er wird mit bezeichnet, die Operation der Galoisgruppe erfolgt durch den zyklotomischen Charakter.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für -Moduln ist der Torsionsuntermodul eines Moduls gleich . Die Funktoren Tor können also als Verallgemeinerung des Begriffes des Torsionsuntermoduls angesehen werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33849-7, Kap. 2, S. 172.
  2. Eisenbud, a.a.O., Corollary 6.3, S. 164
  3. Liu, a.a.O., Corollary 1.2.14, S. 11