Torsion (Mechanik)

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Veranschaulichung der Torsion
Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt
Torsion eines Winkeleisens (L-Profil)
Versuchsaufbau zur Bestimmung der Torsionsgesetze (Holzstich 1897)

Die Torsion beschreibt die Verdrehung eines Bauteils, die durch die Wirkung eines Torsionsmoments entsteht. Versucht man einen Stab mit einem Hebel senkrecht zur Längsachse zu verdrehen, so wirkt auf diesen (neben einer etwaigen Querkraft) ein Torsionsmoment.

Das Torsionsmoment T ergibt sich aus der Kraft F am Hebel multipliziert mit der Länge r des dazu verwendeten Hebels:

T = F \cdot r

Die entstehende Verdrehung (Verdrehwinkel \theta_t ) des Stabs ergibt sich aus dem Torsionsmoment T geteilt durch das Torsionsträgheitsmoment I_T, welches die Größe und Form des Stabquerschnitts beschreibt, und den Schubmodul G, multipliziert mit der Stablänge L:

\theta_t = \frac{T L}{G I_T}

Torsion ohne Verwölbung[Bearbeiten]

Bei gleichmäßigen Querschnitten, die den Bedingungen genügen, dass Produkt aus Wandstärke und Radius über der Laufvariablen konstant sind, und dass es sich um ein geschlossenes Profil handelt, entstehen im Falle der Torsion keine Spannungen in Längsrichtung und damit auch keine Verwölbung des Querschnitts. Dieses Phänomen erfüllt beispielsweise ein Kreiszylinder konstanter Wandstärke. Dieser Fall der Torsion wird als Neubersche Schale bezeichnet. Zu beachten ist allerdings, dass die lineare Elastizitätstheorie gilt, was bedeutet, dass nur kleine Verformungen, kleine Verzerrungen und keine plastische Verformung zugelassen sind. Außerdem soll die Belastung in Form eines an der Längsachse anliegenden Torsionsmomentes anliegen.

Ausschließlich für Kreisquerschnitte und für geschlossene Kreisringquerschnitte ist das Torsionsträgheitsmoment gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment I_T = I_p. Für andere Querschnitte ist die Berechnung des Torsionsträgheitsmoments nur in besonderen Fällen in geschlossener Form möglich. Zudem ist in der Bestimmung in vielen Fällen von Bedeutung, ob es sich um verwölbungsfreie Querschnitte oder nicht handelt und ob die Verwölbung behindert wird oder nicht.

Die Schubspannung {\tau}_t im Stab ergibt sich aus dem Torsionsmoment T geteilt durch das polare Widerstandsmoment W_p:

\tau_t = \frac{T}{W_p}

Die maximale Schubspannung tritt dabei am Rand, beziehungsweise am maximalen Radius im betrachteten Querschnitt[1] auf. Bei der Dimensionierung muss darauf geachtet werden, dass diese Schubspannung nicht größer als die maximal zulässige Schubspannung \tau_\mathrm{zul} des zu verwendenden Materials ist:

\tau \le \tau_\mathrm{zul}

Andernfalls geht die Verformung beispielsweise einer Welle aus dem elastischen Bereich in den plastischen Bereich über und führt schließlich zum Bruch.

Torsion mit unbehinderter Verwölbung (Saint-Venant)[Bearbeiten]

Die reine Torsion, auch Saint-Venantsche Torsion genannt, erlaubt eine unbehinderte Verschiebung von Querschnittspunkten in Längsrichtung (Z-Richtung) des Profiles. Man spricht auch von einer unbehinderten Verwölbung des Querschnitts. Die Querschnittsform senkrecht zur Z-Richtung bleibt dabei erhalten (kleine Verformungen). Es wird angenommen, dass die Querschnittsverwölbung unabhängig von der Lage des Querschnitts ist und sich frei einstellen kann. Man bedient sich quasi eines Tricks, um im Endeffekt Profile tordieren zu lassen, die keinen kreisförmigen Querschnitt haben. Diese können nicht als Neubersche Schale aufgefasst werden. Allerdings darf ein solches Profil nicht fest eingespannt werden, es muss frei im Raum stehen und es wird auf beiden Seiten ein Moment aufgebracht. So ist gewährleistet, dass keine Normalspannungen längs des Profils auftreten, obwohl sich einzelne Punkte am Profil in Längsrichtung verschieben dürfen.

Das innere Torsionsmoment ist über die Länge des Stabes konstant, und hat die Größe des äußeren Torsionsmomentes. Man spricht auch vom primären Torsionsmoment.

Die größte Torsionsschubspannung findet sich im Bereich der kleinsten Wandstärke (Theorie über dünnwandige geschlossene Hohlprofile und dünnwandige offene Profile).

Wölbkrafttorsion[Bearbeiten]

Wölbkrafttorsion tritt in folgenden Fällen auf:

  • Wenn die Verwölbung des verdrillten Stabquerschnittes an Auflagerpunkten, beispielsweise durch Endplatten, behindert wird.
  • Durch Querschnittsänderungen und damit veränderlicher Torsionssteifigkeit und sich ändernder Einheitsverwölbung des Stabes.
  • Durch veränderliche Torsionsbelastung, wenn das daraus resultierende Torsionsmoment im Stab nicht konstant ist (z. B. durch ein Streckentorsionsmoment).
  • Wenn kein wölbfreier Querschnitt vorliegt oder ein wölbfreier Querschnitt durch Erzwingung einer anderen Drehachse als seines Schubmittelpunkts Verwölbungen aufgezwungen bekommt.

Sie tritt auch auf, wenn das Torsionsmoment innerhalb der Stablänge angreift. Sie entspricht einem die Verdrillung des Stabes behindernden örtlichen Spannungszustand durch eine Auflagerbedingung. Mathematisch kann man sich die Wölbkrafttorsion vorstellen wie eine St. Venantsche Torsion mit zusätzlichen statisch unbestimmten Längsspannungen im Auflagerpunkt, die so groß sein müssen, dass die Auflagerbedingung, zum Beispiel Längsverschiebung gleich null, erfüllt sind.

Das innere Moment des Stabes spaltet sich dann in zwei Anteile. Ein Anteil stammt aus der reinen Torsion, der zweite Anteil entsteht durch die behinderte Verwölbung.

Bei Vollquerschnitten ist der Anteil des Wölbmomentes aufgrund der relativ geringen Verwölbung meist klein, es kann daher in der Regel unberücksichtigt bleiben. Bei dünnwandigen Profilen muss sie jedoch berücksichtigt werden.

In dünnwandigen Querschnitten treten neben den St.Venantschen Schubspannungen (sogenannte Primäre Torsionsschubspannungen) zusätzliche sekundäre Schub- (auch Wölbschubspannungen genannt) und Wölbnormalspannungen auf, die aus einer verhinderten Verwölbung des Querschnitts aus o. g. Gründen resultieren. Bei geschlossenen dünnwandigen Profilen wie kaltgeformten Hohlprofilen bleiben diese Spannungen und die daraus entstehenden Verformungen jedoch meist klein gegenüber den Spannungen aus der reinen Torsion. Im Allgemeinen ist keine Betrachtung der Wölbkrafttorsion bei diesen Querschnitten notwendig. Allerdings müssen Grenzfälle betrachtet werden, die die Querschnittsverformungen bei sehr dünnwandigen Querschnitten bei der Berechnung berücksichtigen.

Die Wölbnormalspannungen verteilen sich gleichmäßig über den Querschnitt.

Die Drillung ist über die Länge des Stabes nicht konstant, da der Einfluss der Wölbkrafttorsion mit zunehmendem Abstand von dem Auflagerpunkt, an dem die Verwölbung des Querschnitts behindert ist geringer wird. Daher sind auch die Wölbnormalspannungen über die Länge des Stabes nicht konstant.

Torsion an dünnwandigen Profilen[Bearbeiten]

Das Rundrohr als Beispiel eines dünnwandigen Profils

Da die durch Torsion verursachten Schubspannungen in der Mitte eines Querschnitts geringer sind als zum Rand hin, ist es den Prinzipien des Leichtbaus folgend sinnvoll, mehr Material an den Rand eines Querschnitts zu legen. Bei der Drehmomentübertragung durch Wellen wird dieses Prinzip in Form der Hohlwelle angewandt.

Bei dünnwandigen Querschnitten tritt Schubfluss q_T tangential zur Wand des betrachteten Rohrs oder der Welle auf. Der Schubfluss wird bestimmt durch q_T = \tau_0t. Dabei ist t die Wandstärke des Querschnitts, die über den Ort veränderlich sein kann und \tau_0 die Schubspannung an der Profilmittellinie des Querschnitts. \tau_0 ist über die 1. Bredtsche Formel mit dem Torsionsmoment T verknüpft:

\tau_0=\frac{T}{2tA_0}

Dabei ist A_0 die Fläche, die von der Profilmittellinie eingeschlossen wird.

Setzt man die 1. Bredtsche Formel in die Gleichung für den Schubfluss ein, ergibt sich

q_T = \frac{T}{2A_m}.

Beschreibt man die Profilmittellinie mit einer Laufkoordinate s, kann der Verdrehwinkel \Phi des Profils bestimmt werden über:

\Phi=\frac{Tl}{4A_0^2G}\oint\frac{1}{t}ds

Dabei ist G der Schubmodul und l die Länge des tordierten Stabes.[2]

Die maximale Schubspannung \tau_\mathrm{max} wird bestimmt durch

\tau_\mathrm{max} = \frac{T\cdot t}{I_T}

mit dem Torsionsträgheitsmoment I_T.

Fasst man Torsionsmoment und Wandstärke zum Torsionswiderstandsmoment W_p zusammen, gilt

\tau_\mathrm{max}=\frac{T}{W_p}.

Bei dünnwandigen Querschnitten spielt es eine große Rolle, ob der Querschnitt geschlossen oder offen ist. Geschlossene Querschnitte sind deutlich widerstandsfähiger gegenüber Torsion als offene Querschnitte. Betrachtet man beispielsweise den geschlossenen Querschnitt eines Rundrohrs, dessen Wandstärke 10 % seines Radius beträgt, und vergleicht ihn mit einem geschlitzten Querschnitt mit ansonsten gleichen Eigenschaften, so sind Torsionsträgheitsmoment und folglich das für einen bestimmten Verdrehwinkel aufzubringende Moment beim geschlossenen Querschnitt um den Faktor 300 größer.[3]

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Der Effekt der Torsion findet in vielen Bereichen Anwendung:

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Francke und Harald Friemann: Schub und Torsion in geraden Stäben : Grundlagen und Berechnungsbeispiele. Vieweg, Konstanz 2005, ISBN 3-528-03990-6.
  • Edmund Spitzenberger: Wölbkrafttorsion gemischt offen-geschlossener Querschnitte. VDM, Saarbrücken 2008, ISBN 978-3-639-02493-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.bau.uni-siegen.de/subdomains/baustatik/lehre/tm/tm2/arbeitsblaetter/torsion.pdf
  2. Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre, 8. Auflage, Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5.
  3. Bernd Markert: Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper, 2. Auflage, Institut für Allgemeine Mechanik Aachen, Aachen 2015.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Torsion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien