Torusknoten

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Ein Torusknoten

Ein Torusknoten ist in der Knotentheorie ein Knoten, welcher auf einem (unverknoteten) Torus im dreidimensionalen Raum gezeichnet werden kann.

Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Torusknoten wird durch zwei ganzzahlige, teilerfremde Parameter bestimmt (p und q), die angeben, wie oft der Knoten den Torus außenrum und durch das Loch umrundet. Eine Parameterdarstellung eines Torusknotens mit Parametern p und q ist:

Die Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch definiert werden kann.[1] Damit man hier wirklich einen Torusknoten erhält, müssen und teilerfremd sein, anderenfalls erhält man eine Verschlingung mit Komponenten.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der einfachste nicht-triviale Torusknoten ist die Kleeblattschlinge. Ein Torusknoten ist genau dann trivial, wenn p = ±1 oder q = ±1. Jeder (nicht-triviale) Torusknoten ist chiral, das heißt, er ist nicht in sein Spiegelbild deformierbar.

Das Komplement eines Torusknotens ist eine Seifert-Faserung. Insbesondere sind Torusknoten keine hyperbolischen Knoten.

Torusknoten entstehen in der Singularitätentheorie als Schnitt der komplexen Hyperfläche

mit der Einheitssphäre .[2]

Das Komplement des Torusknotens ist ein Faserbündel über dem Kreis mit Monodromie endlicher Ordnung. Wenn der Knoten als Schnitt der Einheitssphäre mit der Hyperfläche gegeben ist, kann man die Faserung durch definieren.

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kreuzungszahl eines -Torusknotens mit ist

Das minimale Geschlecht einer Seifertfläche eines Torusknotens mit ist

Das Alexander-Polynom eines Torusknotens ist

Das Jones-Polynom eines (rechtshändigen) Torusknotens ist

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Torus knots and links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Torus Knot (en) auf MathWorld. Aufgerufen am 22 Mai 2012.
  2. Torusknoten und Singularitäten komplexer Hyperflächen