Trägheitskraft

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In der Klassischen Mechanik bezeichnet Trägheitskraft

  • die Kraft auf einen Körper, die zusätzlich zu spürbaren äußeren Kräften angenommen wird, um seine Dynamik zu deuten, wenn seine Bewegung im Rahmen eines beschleunigten Bezugssystems beschrieben wird. Diese Trägheitskraft tritt, auch bei Abwesenheit der äußeren Kräfte, in allen beschleunigten Bezugssystemen auf, jedoch nie in einem Inertialsystem. Deshalb wird sie häufig als Scheinkraft bezeichnet.
  • den Widerstand, den ein Körper einer tatsächlichen Beschleunigung durch eine äußere Kraft aufgrund seiner Trägheit entgegensetzt. Diesen Trägheitswiderstand entwickelt der beschleunigte Körper „von innen heraus“. Er lässt sich ausdrücken durch die d'Alembertsche Trägheitskraft, die die von außen wirkenden Kräfte zu einem dynamischen Gleichgewicht ergänzt. Da sie Folge der Masse des Körpers ist, wird sie auch Massenkraft genannt. Sie ist obiger Scheinkraft genau dann nach Betrag und Richtung gleich, wenn jene für ein Bezugssystem berechnet wird, in dem der beschleunigte Körper ruht.

Zu den bekannten Erscheinungsformen zählen die Trägheitskraft beim Anfahren und Abbremsen, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft.

Trägheitskräfte sind hilfreiche Größen, um in der Theoretischen Mechanik und der Technischen Mechanik die Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme zu formulieren und zu lösen.

Überblick[Bearbeiten]

Eine Grundlage der Erklärung der Trägheitskräfte ist das Trägheitsprinzip, das für diejenigen Bewegungen gilt, die relativ zu einem Inertialsystem beschrieben werden. Demnach erfolgt die Bewegung eines Körpers geradlinig-gleichförmig, wenn keine äußere Kraft auf ihn einwirkt. Ein Spezialfall dieses Zustandes ohne wirkende äußere Kraft liegt vor, wenn der Körper in Ruhe ist und es aufgrund des Trägheitsprinzips auch bleibt. Wenn dagegen eine äußere Kraft wirkt, dann bewegt sich der Körper nicht geradlinig-gleichförmig, eine solche Veränderung des Bewegungszustandes wird als Beschleunigung bezeichnet. Eine beschleunigte Bewegung ist nicht nur das Abbremsen oder Beschleunigen einer geradlinigen Bewegung, sondern auch jede Bewegung auf einer gekrümmten Bahn, also z. B. auch wenn man mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag eine Kreisbahn beschreibt.

Wenn nun ein Körper durch eine äußere Kraft beschleunigt wird, dann setzt er dieser Kraft einen Trägheitswiderstand entgegen. Das negative Produkt aus Masse und Beschleunigung des Körpers wird d'Alembertsche Trägheitskraft genannt. Sie ist demnach gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz (oder der Grundgleichung der Mechanik) genau das Negative der äußeren Kraft. Gemeinsam mit den von außen wirkenden Kräften bildet diese d'Alembertsche Trägheitskraft ein dynamisches Gleichgewicht. Die d'Alembertsche Trägheitskraft wird auch als Trägheitswiderstand bezeichnet oder – weil sie von der Masse des Körpers verursacht wird und proportional zur lokalen Dichte ist – als Massenkraft, in der Technischen Mechanik auch ohne Zusatz einfach als Trägheitskraft.

Ein anderer Zugang zur Trägheitskraft ergibt sich, wenn man die Bewegung eines kräftefreien Körpers nicht relativ zu einem Inertialsystem beschreibt, sondern aus der Sicht eines beschleunigten Bezugssystems. Weil dieser Körper in einem Inertialsystem ruht oder sich geradlinig-gleichförmig bewegt, erscheint er im beschleunigten Bezugssystem in einer beschleunigten Bewegung. Schließt man daraus - ohne die Beschleunigung des Bezugssystems zu beachten, auf das Wirken einer Kraft, ergibt sich die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem. Mit ihr kann man also die beobachtete Beschleunigung nach dem zweiten Newtonschen Gesetz erklären, ohne die beschleunigte Bewegung des Bezugssystems selbst zu beachten. Die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem existiert sozusagen nicht „real“ wie die äußeren Kräfte, die (außer in der Relativitätstheorie, wo auch die „realen“ Kräfte in verschiedenen Bezugssystemen verschieden sind) nach Stärke und Richtung unabhängig von der Bewegung des Bezugssystems sind, sondern nur zum Zweck der Beschreibung der Bewegung im Rahmen des beschleunigten Bezugssystems. Sie wird daher auch als „Scheinkraft“, „Pseudokraft“ oder „fiktive Kraft“ bezeichnet. In Berechnungen von Bewegungen relativ zu einem beschleunigten Bezugssystem wird sie wie eine weitere äußere Kraft behandelt, und ihre Wirkungen sind auch genauso real wie die der „realen“ äußeren Kräfte.

Man bemerkt die Trägheitskraft häufig, wenn man gegenüber dem festen Erdboden beschleunigt wird. Dabei bildet die feste Erdoberfläche ein Inertialsystem, wenn nicht exakt dann doch jedenfalls näherungsweise. Intuitiv nimmt man aber häufig den eigenen Körper und eventuell seine nähere Umgebung zum Bezugssystem seiner Beobachtung von Ruhe, Bewegung und Beschleunigung und interpretiert die Bewegung damit von einem beschleunigten Bezugssystem aus. Beispiele sind die gefühlte Trägheit des eigenen Körpers beim Anfahren oder Bremsen der Straßenbahn oder des Fahrstuhls, die Zentrifugalkraft bei Kurvenfahrten z. B. im Auto, Riesenrad, Kettenkarussell. Weniger intuitiv verständlich ist die Corioliskraft, die z. B. großräumige Luftströmungen aufgrund der Rotation der Erdoberfläche zu Hoch- und Tiefdruckwirbeln formt. Betrachtet man aber die betreffende Bewegung des Körpers von einem Inertialsystem aus, erweisen sich die der Trägheitskraft zugeschriebenen Wirkungen ausnahmslos als Folge des Trägheitsprinzips in Verbindung mit äußeren Kräften, die von anderen Körpern ausgehen.

d'Alembertsche Trägheitskraft[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Beim Begriff der d'Alembertschen Trägheitskraft (in der Technischen Mechanik oft nur kurz als Trägheitskraft bezeichnet) legt man ein Inertialsystem zugrunde. Das zweite Newtonsche Gesetz

\vec F = m \, \vec a

verknüpft die gesamte äußere Kraft \vec F mit der im Inertialsystem zu beobachtenden Beschleunigung \vec a. Nach einer Umstellung zu \vec F - m \, \vec a = \vec 0 fasst man die Größe  - m \, \vec a als Kraft auf und bezeichnet sie als d'Alembertsche Trägheitskraft F_T[1]

\vec F_T = - m \, \vec a

In jedem Inertialsystem hat die d'Alembertsche Trägheitskraft, die an einem bestimmten Körper bei einem bestimmten Vorgang angreift, die gleiche Größe. Es gilt

\vec F + \vec F_T = \vec 0 .

Die Gesamtkraft aus äußerer Kraft und d'Alembertscher Trägheitskraft ist somit immer Null. Da diese Gleichung formal von einem statischen Gleichgewicht nicht zu unterscheiden ist, wird sie auch als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet.

Dynamisches Gleichgewicht[Bearbeiten]

Die Tatsache, dass äußere Kraft und d'Alembertsche Trägheitskraft in der Summe Null ergeben, sich also gegenseitig aufheben, wird in der Technischen Mechanik als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet. Vorbild ist dabei das statische Gleichgewicht, weil es durch die Bedingung \sum \vec F = \vec 0 gegeben wird. Durch die Einführung der d'Alembertschen Trägheitskraft kann somit das Konzept des mechanischen Gleichgewichts vom stabilen statischen Fall auf Systeme mit beliebigen Beschleunigungen ausgeweitet werden. Allerdings muss bei weitergehenden Fragen nach der Bedeutung oder Interpretation dieser Kraft beachtet werden, dass sie nicht wie bei allen äußeren Kräften auf eine Wechselwirkung mit einem anderen Körper zurückgeht.

Beziehung zur Trägheitskraft in beschleunigten Bezugssystemen[Bearbeiten]

Die im Inertialsystem ermittelte d'Alembertsche Trägheitskraft ist genau so groß wie die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem, die man für den Fall ermittelt, wo man als beschleunigtes Bezugssystem gerade das Ruhesystem des betreffenden Körpers zugrundelegt. Überhaupt führt die konkrete Behandlung einer mechanischen Frage immer zu übereinstimmenden Ergebnissen, unabhängig davon, ob die Rechnung mit oder ohne Benutzung der d'Alembertschen Trägheitskraft durchgeführt wird.

Unter Einbeziehung der d'Alembertschen Trägheitskraft ergibt die Kräftebilanz eines Körpers immer Null, wie im Fall eines statischen Gleichgewichts oder der kräftefreien Bewegung. Daher muss betont werden, dass die d'Alembertsche Trägheitskraft keine Kraft im Sinne der Newtonschen Axiome ist, in denen die Kraft ganz allgemein als die Ursache von Beschleunigung definiert wird. In der Trägheitskraft wird vielmehr die ältere Bedeutung der Trägheit quantitativ gefasst. Diese hatte seit dem Altertum und bis hin zu Newton darin bestanden, aller Materie (im Gegensatz zum Geist) die Eigenschaft der Trägheit zuzuschreiben, die sich dadurch äußern soll, dass ein Körper sich durch eine Trägheitskraft („vis inertiae“) jeder Bewegung überhaupt und auch jeder Änderung einer bestehenden Bewegung widersetzt. Daneben definierte Newton in seinen Axiomen die bewegende Kraft („vis motrix“) als Ursache jeder Änderung des Bewegungszustandes, und dies wurde nach der Ausformulierung der Newtonschen Mechanik durch Euler allmählich zur genauen Bedeutung von "Kraft" in der Mechanik. Parallel dazu gab d'Alembert der vis inertiae die quantitative Definition in Form der nach ihm benannten Trägheitskraft.[2]

Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem[Bearbeiten]

Begriffsbildung[Bearbeiten]

Die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem (in der Physik oft nur kurz als Trägheitskraft bezeichnet) wird benötigt um die Dynamik von Körpern in einem beschleunigten Bezugsystem zu beschreiben. Grundlage der Definition nach Leonhard Euler[3][Anm. 1] ist das Trägheitsprinzip (oder Erstes Newtonsches Gesetz). Demzufolge gibt es unter den verschiedenen Bezugssystemen solche, in denen jeder sich selbst überlassene Körper sich mit seiner momentanen Geschwindigkeit geradlinig-gleichförmig weiterbewegt (einschließlich des Sonderfalls Geschwindigkeit Null). Jede Abweichung von dieser kräftefreien, geradlinig-gleichförmigen Bewegung wird als Beschleunigung bezeichnet und gilt als Beweis, dass eine Kraft auf den Körper einwirkt. Diese Bezugssysteme werden seit 1886 als Inertialsysteme bezeichnet, im Unterschied zu beschleunigten Bezugssystemen, die selber gegenüber dem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung sind.

Relativ zu einem solchen beschleunigten Bezugssystem erscheint die im Inertialsystem geradlinig-gleichförmige Bewegung des Körpers nicht geradlinig-gleichförmig, also beschleunigt. Nach Euler werden auch diese, in gewissem Sinn „scheinbaren“ Beschleunigungen als Folge einer „scheinbar“ einwirkenden Kraft angesehen. Diese Kraft wird Trägheitskraft genannt, denn sie entsteht nicht wie die „äußeren Kräfte“ aus der Einwirkung anderer Körper, sondern verdankt ihre Existenz einzig der Trägheit des Körpers in Verbindung mit der Wahl eines beschleunigten Bezugssystems. Größe und Richtung der so erschlossenen Trägheitskraft werden aus dem Produkt von Masse des Körpers und seiner Beschleunigung, soweit sie nicht von der äußeren Kraft hervorgerufen ist, ermittelt.

In einfachen Fällen ergibt sich die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem in Form der Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen, der Zentrifugalkraft, der Corioliskraft oder der Eulerkraft. In den meisten Fällen ist die gesamte Trägheitskraft die Summe dieser vier Trägheitskräfte. Die Abhängigkeit der Trägheitskräfte von der Wahl des Bezugssystems zeigt sich darin, dass sie in einem Inertialsystem gar nicht auftreten, und dass man für einen gegebenen Vorgang je nach Wahl des Bezugssystems verschiedene Kombinationen der genannten Formen der Trägheitskräfte erhält.

Wählt man für einen bestimmten Vorgang das Bezugssystem so, dass es sich mit dem Schwerpunkt des Körpers mit bewegt, dann ergibt sich für dieses Bezugssystem die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem genau gleich der d'Alembertschen Trägheitskraft, die man für denselben Vorgang erhalten würde, wenn er von einem Inertialsystem aus betrachtet wird. Trotzdem dürfen beide Begriffe nicht gleichgesetzt werden, denn ihr Gebrauch ist an entgegengesetzte Voraussetzungen geknüpft: die d'Alembertsche Trägheitskraft setzt ein Inertialsystem voraus, die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem ein Nicht-Inertialsystem.

Sind im gewöhnlichen Fall auch andere Kräfte zu berücksichtigen (was daran zu erkennen ist, dass auch vom Inertialsystem aus gesehen die Bewegung des Körpers nicht geradlinig-gleichförmig verläuft), werden diese zu der Trägheitskraft vektoriell addiert. Mit dieser Gesamtkraft gilt dann das 2. Newtonsche Gesetz auch für die Beobachtungen relativ zu diesem beschleunigten Bezugssystem.

Die formelmäßige Bestimmung der einzelnen Trägheitskräfte erhält man, indem man die Bewegung im Inertialsystem als „zusammengesetzte Bewegung“ beschreibt, zusammengesetzt aus der Bewegung des Bezugssystems gegenüber dem Inertialsystem und der Bewegung des Körpers relativ zum bewegten Bezugssystem. Die Gleichung für die Absolutbeschleunigung wird nach der Relativbeschleunigung aufgelöst. Durch Multiplikation mit der Masse erhält man die bekannten Trägheitskräfte in geschlossener Form.

Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen[Bearbeiten]

In der Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem unterscheidet man vier Beiträge, die in den folgenden Absätzen am Beispiel eines Mitfahrers in einem Fahrzeug anschaulich einzeln dargestellt werden. Das bewegte Bezugssystem ist jeweils fest mit dem Fahrzeug verbunden, und der Mitfahrer, der hier auch der Beobachter ist, bleibt relativ zu diesem Bezugssystem (praktisch) in Ruhe. (Von anderen Bezugssystemen aus würde sich aus der Betrachtung derselben Bewegung jeweils eine andere Trägheitskraft ergeben, wobei die einzelnen Arten sich auch vermischen können.) Das Inertialsystem ist mit dem Erdboden verbunden.

Ein Fahrzeug werde parallel zu seiner Geschwindigkeit v_B mit der Beschleunigung a_B beschleunigt (a_B > 0) oder abgebremst (a_B < 0).

Beobachtung im mitbewegten Bezugssystem: Auf einen Körper der Masse m, z. B. einen Fahrgast, wirkt die Trägheitskraft

F_{T}=-m\,a_B .

Die Trägheitskraft F_{T} ist der Beschleunigung des Bezugssystems entgegengerichtet. Beim „Gas geben“ drückt sie den Fahrgast nach hinten gegen die Rückenlehne, beim Bremsen nach vorne gegen die Gurte.

Beobachtung im Inertialsystem: Damit der Fahrgast synchron mitbeschleunigt wird, muss auf ihn die Kraft F=+m\,a_B wirken. Beim Gasgeben übt seine Rückenlehne diese Kraft aus („Schub“). Beim Abbremsen wird er durch die Kraft verlangsamt, die der Gurt auf ihn ausübt („negativer Schub“).

Weitere Beispiele: Aufprall beim Fall auf den Boden oder beim Auffahrunfall, leichter/schwerer werden beim Anfahren/Abbremsen des Fahrstuhls, Umkippen aufrecht stehender Gegenstände bei seitlicher Beschleunigung der Unterlage (auch bei Erdbeben), Schütteln und Rütteln.

Zentrifugalkraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zentrifugalkraft

Ein Fahrzeug fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v_B durch eine Kurve mit Radius R.

Beobachtung im rotierenden Bezugssystem: Auf einen mitbewegten Körper der Masse m wirkt die Trägheitskraft

F_{T}=\frac{m\,v^2_B}{R}.

Diese Trägheitskraft ist vom Kurvenmittelpunkt radial nach außen gerichtet und heißt Zentrifugalkraft. Sie drückt den Fahrgast gegen die in der Kurve außen liegende Seitenlehne.

Beobachtung im Inertialsystem: Damit der Fahrgast relativ zu seinem Sitz in Ruhe bleibt, muss er dieselbe Kreisbahn durchlaufen wie das Fahrzeug. Dazu muss auf ihn die Kraft F=\frac{m\,v^2_B}{R} in Richtung zum Kurvenmittelpunkt wirken (Zentripetalkraft). Anderenfalls würde er sich geradeaus weiter bewegen. Diese Kraft wird von der außen liegenden Seitenlehne auf ihn ausgeübt.

Weitere Beispiele: Wäscheschleuder, ansatzweise Schwerelosigkeit am höchsten Punkt im Riesenrad, nach außen gedrängte Sitze im Kettenkarussell, das Ausbrechen aus der Kurve beim Auto- oder Fahrradfahren.

Corioliskraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Corioliskraft

Ein Kind sitzt in einem Karussell und will eine Kugel in einen Korb werfen, der im Mittelpunkt des Karussells steht. Es zielt genau zur Mitte, doch wenn das Karussell sich dreht, fliegt die Kugel trotzdem neben dem Korb vorbei. (Kind und Korb befinden sich auf gleicher Höhe; die Schwerkraft sei bei der Betrachtung außer acht gelassen.)

Beobachtung im mitbewegten Bezugssystem: Die Kugel wird mit Geschwindigkeit v' radial nach innen losgeworfen und fliegt mit konstanter Geschwindigkeit, vollführt aber keine geradlinige Bewegung. Stattdessen beschreibt sie eine zur Seite gekrümmte Kurve. Denn quer zu ihrer Geschwindigkeitsrichtung wirkt in horizontaler Richtung die Trägheitskraft

F_{T}=2m \, v' \, \omega .

Darin ist \omega = \frac{2 \pi}{\mathrm{Dauer\ einer\ Umdrehung}} die Winkelgeschwindigkeit des Karussells.

Beobachtung im Inertialsystem: Die fliegende Kugel ist kräftefrei und macht eine geradlinig-gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit, die ihr zu Anfang erteilt wurde. Nach Betrag und Richtung setzt diese sich zusammen aus der Geschwindigkeit v', die das Kind der Kugel in der Richtung mitgibt, die im Moment des Abwurfs radial nach innen zeigt, und der Geschwindigkeit v_B , mit der das Kind (bzw. der Beobachter) selber sich zu diesem Zeitpunkt in tangentialer Richtung mit dem Karussell mitbewegt. Diese beiden Geschwindigkeiten stehen im rechten Winkel zueinander. Die Richtung der daraus zusammengesetzten Gesamtgeschwindigkeit zeigt am Korb vorbei.

Die Corioliskraft tritt in einem rotierenden Bezugssystem immer auf, wenn ein Körper darin nicht ruht, sondern sich relativ zu diesem bewegt (ausgenommen Bewegungen nur parallel zur Drehachse). Man kann sie wie jede Trägheitskraft am eigenen Körper dann spüren, wenn man sie durch Festhalten kompensieren muss (z. B. wenn man auf der Drehscheibe des Kinderspielplatzes auf gerader Linie nach innen gehen will ohne seitlich abgelenkt zu werden). Wenn im Allgemeinen Fall die Relativgeschwindigkeit v' eine radiale, eine tangentiale und eine achsenparallele Komponente hat, bleibt die achsenparallele Komponente folgenlos. Die radiale Geschwindigkeitskomponente ruft eine tangentiale Corioliskraft hervor (wie im obigen Beispiel am Anfang der Bewegung). Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente des Körpers aber wirkt wie eine Erhöhung oder Verringerung der Rotationsgeschwindigkeit des Bezugssystems. Die zugehörige Corioliskraft ist daher radial gerichtet, also parallel oder antiparallel zur Zentrifugalkraft, die im unverändert rotierenden Bezugssystem herrscht. Beide Kräfte zusammen ergeben eine radiale Kraft, die genau derjenigen Zentrifugalkraft auf den Körper entspricht, die auf den Körper aufgrund seiner aktuellen (erhöhten oder verringerten) Umlaufgeschwindigkeit wirkt. (Steht man z. B. auf einer Drehscheibe, spürt man nur die Zentrifugalkraft und muss sie durch eine gleich große Zentripetalkraft ausgleichen. Läuft man aber in konstantem Abstand von der Achse entgegen der Drehbewegung, dann scheint sich die Zentrifugalkraft zu verringern, obwohl die Scheibe unverändert rotiert. Der Grund ist die zusätzlich wirkende Corioliskraft radial nach innen. Läuft man gerade mit der Umlaufgeschwindigkeit der Scheibe, ist die Corioliskraft genau doppelt so groß wie die Zentrifugalkraft. In der Summe entsteht so die nach innen gerichtete Zentripetalkraft, die für die im rotierenden Bezugssystem beobachtete Kreisbahn auf der Scheibe nötig ist. Für den ruhenden Beobachter außerhalb der Drehscheibe hingegen bleibt der Läufer ja wegen des Laufens immer an derselben Stelle, d. h. im Inertialsystem ist er kräftefrei.) Tangentiale und radiale Komponente der Corioliskraft zusammen ergeben, dass die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem stets senkrecht auf der Geschwindigkeitsrichtung (und auf der Drehachse) steht und daher die Bahn eines sonst kräftefreien Körpers zu einem Kreis umlenkt. Das ist z. B. an den Wolkenbildern um Hoch- und Tiefdruckgebiete zu sehen.

Weitere Beispiele: Drehung der Pendelebene beim Foucaultschen Pendel, subtropischer Passatwind und stratosphärischer Jetstream, Ostablenkung frei fallender Körper auf der Erde.

Euler-Kraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Euler-Kraft

Wenn die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bezugssystems nach Betrag und/oder Richtung variiert, tritt die Euler-Kraft auf (wobei dieser Name sich nicht fest eingebürgert hat). Ein einfaches Beispiel mit Änderung des Betrags bei feststehender Richtung der Drehachse ist das Anfahren eines Karussells. Wenn man die Bewegung des Fahrgasts in dem Bezugssystem beschreibt, das sich mit dem Karussell zu drehen beginnt, ist seine Winkelbeschleunigung \dot \omega = \frac{d \omega}{dt} und im Abstand r' von der Achse die Trägheitskraft F_T =- m\, \dot \omega \,r'. Sie ist der tangentialen Beschleunigung a=\dot \omega \,r', die man im Inertialsystem hier beobachtet, entgegengerichtet und unterscheidet sich in nichts von der Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen.

Wenn die Drehachse auch ihre Richtung verändern kann, ist die Euler-Kraft gegeben durch die allgemeine Formel

\vec F_T =- m\, \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}

Darin ist der Vektor \dot {\vec \omega} = \frac{d \vec {\omega}}{dt} die Winkelbeschleunigung, also nach Richtung und Betrag die Änderungsgeschwindigkeit der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit \vec {\omega} .

Zur Erläuterung sei diese Trägheitskraft am Beispiel eines Massenpunktes betrachtet, der Teil eines horizontalen, schnelldrehenden, rotationssymmetrischen Kreisels ist, während dieser eine (langsame) Präzession um eine vertikale Achse ausführt (siehe[4]).

Beobachtung im Inertialsystem: Wenn der Kreisel nicht präzediert, verläuft die Bahn des Massenpunkts kreisförmig in einer festen, senkrechten Ebene. Diese Kreisbewegung wird durch eine entsprechende Zentripetalkraft hervorgerufen, die hier nicht weiter betrachtet werden muss. Bei Präzession dreht sich die Bahnebene um eine senkrechte Achse. Die Bahn des Massenpunkts hat dadurch eine zusätzliche Krümmung, die am oberen und unteren Punkt entgegengesetzt und besonders groß ist, weil der Massenpunkt dann die Drehachse der Bahnebene passiert. Diese Krümmung kann nur durch eine zusätzliche äußere Kraft hervorgerufen sein, die parallel bzw. antiparallel zur Kreiselachse steht. Diese für die Präzession erforderliche äußere Zusatzkraft auf den Massenpunkt variiert also bei jeder Umdrehung des Kreisels. Da der Kreisel rotationssymmetrisch ist, ergibt sich in der Summe über alle Massenpunkte, dass die zusätzlichen Kräfte zusammen einem Drehmoment entsprechen. In einem Bezugssystem, in dem die Kreiselachse feststeht, das aber die schnelle Rotation des Kreisels nicht mitmacht, ist dies Drehmoment zeitlich konstant. Damit die Präzessionsbewegung des Kreisels so abläuft wie beobachtet, muss dies Drehmoment von außen konstant auf die Kreiselachse einwirken. Der Vektor des Drehmoments steht senkrecht auf der (horizontalen) Kreiselachse und auf der (vertikalen) Achse der Präzession. Bei ruhendem Kreisel würde die Achse dann einfach nach oben oder unten kippen.
In Demonstrationsversuchen mit einem kräftefreien Kreisel (wie in[4]) wird das zur Präzession erforderliche äußere Drehmoment durch ein angehängtes Gewicht realisiert, beim schräg stehenden Spielzeugkreisel durch die am Schwerpunkt angreifende Schwerkraft.

Beobachtung im bewegten Bezugssystem: Legt man als bewegtes Bezugssystem das Ruhesystem des Massenpunkts zugrunde, dann ruht er relativ hierzu, obwohl die eben beschriebene äußere Zusatzkraft auf ihn wirkt. Der Grund ist, dass sie durch eine entgegengesetzt gleich große Trägheitskraft kompensiert ist, die gerade aus der besonderen Art der beschleunigten Bewegung dieses Bezugssystems entsteht. Diese Kraft ist die Euler-Kraft.

(Das Bezugssystem ist hier so gewählt, dass seine Rotationsachse sich ändert und damit die Eulerkraft hervorbringt. Das Bezugssystem führt sowohl die schnelle Rotation um die horizontal liegende Kreiselachse als auch die langsame Präzession der Kreiselachse um die vertikale Achse durch den Aufhängepunkt aus. Um die Präzession zu erklären, wird häufig ein leichter vorstellbares Bezugssystem gewählt, in welchem die Kreiselachse ruht, der Kreisel sich aber dreht. Dies Bezugssystem zeigt nur die Präzession mit ihrer konstanten Winkelgeschwindigkeit, ruft also keine Euler-Kraft hervor. Relativ zu diesem Bezugssystem bewegt sich aber der Massenpunkt und erfährt daher eine Coriolis-Kraft. Diese stimmt an jedem Punkt seines Umlaufs mit der vorher - im Ruhesystem des Massenpunkts - ermittelten Euler-Kraft überein. Z. B. ist die Coriolis-Kraft am größten, wenn die Relativgeschwindigkeit des Massenpunkts senkrecht zur Rotationsachse des Bezugssystems, also der Präzessionsachse steht. Das geschieht am oberen und unteren Punkt der Kreisbahn, mit entgegengesetzten Vorzeichen der Coriolis-Kraft.)

Weitere Beispiele: Kollermühle. Dort erhöht das Umlaufen der Mühlsteine den Druck auf die Unterlage, was wie im Fall der Präzession je nach Wahl des beschleunigten Bezugssystems durch eine Eulerkraft oder eine Coriolis-Kraft zu erklären ist.

Formeln[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Beobachtungen im Inertialsystem die normale Notation im verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. prime). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“. Der Subindex _B steht für den Beobachter, der am Ursprung des gestrichenen Bezugssystems steht.

Bedeutung
m Masse des betrachteten Körpers.
\vec{r} Position des Objektes in S (Inertialsystem).
\vec{r}{\;'} Relativposition des Objektes in S' (Nicht-Inertialsystem).
\vec{v}=\dot{\vec{r}} Geschwindigkeit des Objektes in S
\vec{v}{\;'} Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
\vec{a}=\dot{\vec{v}} Beschleunigung des Objektes in S
\vec{a}{\;'} Relativbeschleunigung des Objektes in S'
\vec{r}_B Position des Ursprungs von S' in S
\vec{v}_B=\dot{\vec{r}}_B Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
\vec{a}_B=\dot{\vec{v}}_B Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
\vec{\omega} Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
\vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}} Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Bei als bekannt vorausgesetzter äußerer Kraft \vec F gilt im Inertialsystem S das zweite Newtonsche Axiom

m \vec a = \vec F

Die Gleichung kann nach der unbekannten Beschleunigung \vec{a} aufgelöst werden. Im beschleunigten System S' liegt bei demselben Vorgang eine andere Beschleunigung \vec{a}{\;'} vor. Dafür wird analog zum 2. Newtonschen Gesetz angesetzt:

m\vec{a}{\;'}=\vec{F}{\;'}=\vec{F}+\vec F_T

oder gleichbedeutend

\vec F_T = m\vec{a}{\;'} - \vec{F}

Diese Gleichung ist die Definition der Trägheitskraft \vec{F}_{T}. Wird \vec{F}_{T} in dieser Form mit berücksichtigt, kann man die ganze Newtonsche Mechanik auch im beschleunigten Bezugssystem anwenden. Um \vec{F}_{T} näher zu bestimmen, muss die Relativbeschleunigung \vec{a}{\;'} durch die Beobachtungen im Inertialsystem ausgedrückt werden.

Translatorisch bewegtes Bezugssystem S'[Bearbeiten]

Bewegt sich S' im Inertialsystem S rein translatorisch, also ohne jede Drehung, dann bewegen sich alle Punkte, die in S' ruhen, parallel zueinander mit derselben Geschwindigkeit \vec{v}_B wie der Ursprung. Eine Relativbewegung im Bezugssystem kommt additiv hinzu. Folglich gilt:

kinematische Größen in S
Position \vec{r}=\vec{r}_{B}+\vec{r}{\;'}
Geschwindigkeit \vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{B}+\vec{v}{\;'}
Beschleunigung \vec a =\frac {d \vec v}{d t}=\vec{a}_{B}+\vec{a}{\;'}

Wird aus der letzten Gleichung \vec {a}{\;'} ermittelt und dies in die Definitionsgleichung von \vec F_T eingesetzt, ergibt sich:

\vec F_T = -m\vec{a}_{B}

Allgemein beschleunigtes Bezugssystem S'[Bearbeiten]

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit \vec \omega und die Winkelbeschleunigung \dot {\vec \omega} des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

kinematische Größen in S
Position \vec{r}=\vec{r}_{B}+\vec{r}{\;'}
Geschwindigkeit \vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{B}+\vec \omega \times \vec{r}{\;'}+ \vec{v}{\;'}
Beschleunigung \vec a =\frac {d \vec v}{d t}= \vec a_B + \vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 \, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}  + \vec {a}{\;'}

Setzt man die Absolutbeschleunigung \vec a in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, ergibt sich:

m\vec{a}_{B}  + m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'} + m\vec {a}{\;'}=\vec{F}

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung folgt:

 m\vec {a}{\;'} = \vec{F} \quad - m\vec{a}_{B}\quad  \underbrace {- m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'})}_{\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}}\quad  \underbrace {- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Euler}}}\quad  \underbrace {-2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}} =\vec F + \vec F_T

Der Term \vec{F}_{\mathrm{T}}=-m\vec{a}_{B} +\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}+\vec{F}_{\mathrm{Euler}}+\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}} ist die Trägheitskraft, die zusätzlich zur Kraft \vec{F} im beschleunigten Bezugssystem auftritt.

Der Ausdruck -m \vec a_B rührt aus der Beschleunigung des Bezugssystems her und hat keinen besonderen Namen.[5] Weiter ist \vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}=- m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) die Zentrifugalkraft. Der Term  \vec F_\mathrm{Euler}=- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} wird hier nach[6]:103 als Eulerkraft bezeichnet (in[7] als „lineare Beschleunigungskraft“). Der Term \vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}=-2m(\vec{\omega}\times\vec{v}{\;'}) ist die Corioliskraft.

Trägheitskraft und Machsches Prinzip[Bearbeiten]

Hauptartikel: Machsches Prinzip

Im Rahmen der Newtonschen Mechanik ist es möglich, theoretisch schon einem einzigen Körper im ansonsten leeren Universum Eigenschaften wie Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Trägheit und damit auch Trägheitskraft zuzuschreiben. Die begriffliche Grundlage hierfür sind die Annahmen eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit, die durch die Spezielle Relativitätstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie aber als unhaltbar erkannt wurden. Schon vorher hatte Ernst Mach in einem nach ihm benannten Prinzip gefordert, die Gesetze der Mechanik so abzufassen, dass nur die Relativbewegungen der im Weltall verteilten Massen eine Rolle spielen. Dann müssen aber auch Trägheit und Trägheitskraft eines Körpers auf einer Wechselwirkung mit anderen Körpern beruhen.

Gravitationskraft als Trägheitskraft[Bearbeiten]

Begriffsbildung[Bearbeiten]

Auch die Gravitationskraft hat Eigenschaften einer Trägheitskraft: Sie ist proportional zur Masse eines Körpers und hängt ansonsten von keinen anderen Eigenschaften des Körpers ab. Tatsächlich kann man zwischen Gravitations- und Trägheitskraft prinzipiell nicht unterscheiden. Zu einem Gravitationsfeld lässt sich stets ein beschleunigtes Bezugssystem definieren, in dem die auftretenden Trägheitskräfte die Gravitationskräfte gerade kompensieren, und zwar unabhängig von der Bewegung und der Art des Körpers. Dazu muss dieses Bezugssystem gegenüber dem ruhenden System einfach nur einen freien Fall ausführen. Innerhalb des fallenden Bezugssystems würden weder Gravitations- noch Trägheitskräfte zu beobachten sein, da sie sich ja exakt aufheben. Allerdings gilt dies wegen der Inhomogenität eines jeden Gravitationsfelds immer nur lokal, d. h. genähert in einem hinreichend kleinen Raumgebiet.

Diese Beobachtung lässt sich umdeuten, indem man das frei fallende Bezugssystem als das hier gültige Inertialsystem definiert. Dann ist das vorherige Bezugssystem, in dem Gravitation herrscht, kein Inertialsystem mehr, denn von dem neuen Inertialsystem aus gesehen bewegt es sich entgegengesetzt zum freien Fall, also beschleunigt. In diesem System treten dann Trägheitskräfte auf, die exakt mit den vorher dort festgestellten Gravitationskräften übereinstimmen und sie daher vollständig ersetzen können. Gravitationskraft als ein eigenständiges Phänomen existiert in dieser Beschreibung nicht. Sie wird zu einer Trägheitskraft, die nur in Bezugssystemen auftritt, die keine Inertialsysteme sind. Diese Feststellung ist gleichbedeutend mit dem Äquivalenzprinzip, der Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie muss allerdings das Prinzip fallen gelassen werden, dass ein für das ganze Universum gültiges Inertialsystem mit euklidischer Geometrie definiert werden kann. Für hinreichend kleine Bereiche von Raum und Zeit lassen sich allerdings weiterhin Inertialsysteme definieren. Die gesamte Raumzeit wird durch eine vierdimensionale, gekrümmte Mannigfaltigkeit beschrieben. Die Allgemeine Relativitätstheorie geht über das Newtonsche Gravitationsgesetz hinaus und ist die heute anerkannte Theorie der Gravitation.

Beispiel[Bearbeiten]

Als Beispiel sei erklärt, warum ein Fahrgast in einem bremsenden Zug auf horizontaler Strecke das gleiche Erlebnis hat wie bei gleichförmiger Fahrt auf abschüssiger Strecke. In dem bremsenden Wagen ergibt die Summe der nach unten gerichteten Gravitationskraft und der nach vorne gerichteten Trägheitskraft eine Gesamtkraft, die schräg nach vorne gerichtet ist. Um ruhig stehen zu können, muss die Gesamtkraft aber längs der Körperachse vom Kopf zu den Füßen gerichtet sein, weshalb man sich entweder nach hinten neigen oder durch Festhalten eine dritte Kraft ins Spiel bringen muss, mit der die Gesamtkraft wieder senkrecht zum Wagenboden ist. Das gleiche zeigt sich, wenn der Wagen steht oder mit konstanter Geschwindigkeit fährt, aber die Strecke abschüssig ist. Dann wirkt keine der Trägheitskräfte aus der Newtonschen Mechanik, aber die Gravitationskraft zieht nicht mehr im rechten Winkel zum Boden, sondern schräg nach vorne. Fasst man die Gravitationskraft auch als Trägheitskraft auf, ist die Erklärung in beiden Fällen die gleiche.

Literatur[Bearbeiten]

  •  J. W. Warren: Understanding Force. John Murray, 1979, ISBN 0-7195-3564-6. Deutsche Übersetzung: Verständnisprobleme beim Kraftbegriff (PDF; 395 kB) S. 15 ff.
  •  Istvan Szabo: Einführung in die Technische Mechanik. 8. Auflage. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-03679-2.
  •  Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics (Band I Teil 1, deu-eng). Oldenbourg, München 1974, ISBN 3-486-33691-6.
  •  Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6.
  •  Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik - Kinetik - Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1.: (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) „Nach D'Alembert fassen wir den Ausdruck m \vec a in Bewegungsgesetz (8.1) als Hifskraft auf und nennen sie Trägheitskraft
  •  Dieter Meschede, Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 24. Auflage. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6., S. 41–42. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) „Kräfte, die dadurch entstehen, dass man den Vorgang in einem bestimmten Bezugssystem beschreibt, und die in einem anderen Bezugssystem nicht vorhanden wären: Trägheitskräfte...Diese gebräuchliche aber etwas irreführende Einstufung der Kraft als Scheinkraft ändert allerdings nichts an ihren realen, oft katastrophalen Folgen.
  •  Istvan Szabo: Geschichte der mechanischen Prinzipien. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 1987, ISBN 3-7643-1735-3.
  •  Istvan Szabo: Höhere Technische Mechanik. 6. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8.
  •  S. Brandt, H.D. Dahmen: Mechanik. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21666-9.
  •  Peter Reinecker, Michael Schulz, Beatrix M. Schulz: Theoretische Physik I. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40635-2.
  •  Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21474-7.
  •  Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40721-7.
  •  Agostón Budó: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963, ISBN 3-540-67653-8.
  •  Lev D. Landau, E. M. Lifschitz, Paul Ziesche: Mechanik. Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1326-9 ((online)).
  •  Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. 3., aktualisierte Auflage. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-41142-5.. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Euler ging von der Frage aus, ob das aus den Planetenbeobachtungen erschlossene Kraftgesetz der Gravitation dadurch verfälscht sein könnte, dass der Beobachter sich mit der Erde selber beschleunigt bewegt hat.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik: Band 3: Kinetik, 10, Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, S. 191. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) S. 191: „Wir schreiben nun F-ma=0 und fassen das negative Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a formal als eine Kraft auf, die wir […] D'alembertsche Trägheitskraft F_T nennen: F_T=-ma. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
  2.  Max Jammer: Der Begriff der Masse in der Physik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964.
  3.  Giulio Maltese: On the Relativity of Motion in Leonhard Euler’s Science. In: Archives for History of Exact Sciences Springer-Verlag. 54, 2000, S. 319–348.
  4. a b Siehe Video (Uni Würzburg)
  5. Vereinzelt wird die Bezeichnung „Einsteinkraft“ verwendet, die in anderem Kontext aber gänzlich anders gebraucht wird: Verwendung des Begriffs Einsteinkraft (S. 5) (PDF; 130 kB)
  6.  Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7, S. 88–110. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). S. 91: „Accordingly, the force of inertia I has to be defined as the negative rate of change of momentum: I=-d/dt(mv) ... The definition of the force of inertia requires "an absolute reference system" in which the acceleration is measured. This is an inherent difficulty of Newtonian mechanics, keenly felt by Newton and his contemporaries. The solution of this difficulty came in recent times through Einstein's great achievement, the Theory of General Relativity.
  7.  Eckhard Rebhan: Theoretische Physik I. Spektrum, Heidelberg/ Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8., S. 66.

Weblinks[Bearbeiten]