Trägheitssatz von Sylvester

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Der Trägheitssatz von Sylvester oder sylvesterscher Trägheitssatz, benannt nach James Joseph Sylvester, ist ein Resultat aus der linearen Algebra. Dieser Satz macht eine Aussage über Invarianten darstellender Matrizen von symmetrischen Bilinearformen beziehungsweise hermitescher Sesquilinearformen und liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur.

Aussage des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform . Der Ausartungsraum von ist definiert als

.

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

mit

für alle für alle

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von , so dass die Darstellungsmatrix der hermiteschen Sesquilinearform die Diagonalgestalt

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge , und , alle anderen Koeffizienten sind .[1]

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Seien eine symmetrische Matrix und eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass und mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation invariant, nicht jedoch unter .
  • Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Signatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Signatur (lineare Algebra)

Die Räume , und seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform sind. Insbesondere ist

.

Die analoge Aussage gilt auch für . Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

.

Das Tripel heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 278–281.