Transformationssatz

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Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine offene Menge und ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion auf genau dann integrierbar, wenn die Funktion auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

Dabei ist die Jacobi-Matrix und die Funktionaldeterminante von .

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wählt man für die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge dar:
  • Ist außerdem die Abbildung linear oder affin, , wobei eine -Matrix ist und , so ist . Somit gilt

Allgemeinere Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei den Voraussetzungen des Transformationssatzes kann man die Bedingungen, dass die Abbildung ein Diffeomorphismus ist, abschwächen:

  • Sie braucht nicht stetig differenzierbar zu sein. Es genügt, wenn sie lokal Lipschitz-stetig ist. In diesem Fall ist sie fast überall differenzierbar und die Funktionaldeterminante ist lokal beschränkt und lokal integrierbar.
  • Sie braucht nicht injektiv zu sein. Es genügt, wenn diese Eigenschaft fast überall gilt.
  • Die Funktionaldeterminante darf auch den Wert null annehmen. Wegen des Satzes von Sard ist das Bild der Menge der Punkte, an denen dies passiert, unter der Abbildung eine Nullmenge.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

zu beweisen. Da die Funktion rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei und

Dann ist die Funktionaldeterminante

Das Komplement von ist eine Nullmenge, mit ergibt sich also

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution begründet werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]