Transitive Relation

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Zwei transitive und eine nicht transitive Relation (rechts unten), als gerichtete Graphen dargestellt

Eine transitive Relation ist in der Mathematik eine zweistellige Relation auf einer Menge, die die Eigenschaft hat, dass für drei Elemente , , dieser Menge aus und stets folgt. Eine nicht transitive Relation heißt intransitiv. Die Transitivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Menge und eine zweistellige Relation auf , dann heißt transitiv, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

Darstellung als gerichteter Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede beliebige Relation auf einer Menge kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von . Vom Knoten zum Knoten wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn gilt.

Die Transitivität von lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer zwei Pfeile aufeinanderfolgen (), gibt es auch einen Pfeil, der Anfangs- und Endknoten direkt verbindet () (so auch im Hasse-Diagramm).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Transitivität einer Relation erlaubt auch Schlüsse über mehrere Schritte hinweg (wie man leicht durch vollständige Induktion zeigt):
  • Mit Hilfe der Verkettung von Relationen lässt sich die Transitivität auch durch die folgende Bedingung charakterisieren:
  • Ist die Relation transitiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation . Beispiele: die zu konverse Relation ist , die zu konverse ist .
  • Sind die Relationen und transitiv, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt einer beliebigen Familie von transitiven Relationen verallgemeinern.
  • Zu jeder beliebigen Relation gibt es eine kleinste transitive Relation , die enthält, die sogenannte transitive Hülle von .
    Beispiel: sei die Vorgängerrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen, es gelte also . Die Relation selbst ist nicht transitiv. Als transitive Hülle von ergibt sich die Kleiner-Relation .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ordnung der reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus a > b und b > c folgt a > c.

Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist transitiv, denn aus und folgt . Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung.

Ebenso sind die Relationen , und transitiv.

Gleichheit der reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gewöhnliche Gleichheit auf den reellen Zahlen ist transitiv, denn aus und folgt . Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Die Ungleichheitsrelation auf den reellen Zahlen ist hingegen nicht transitiv: und , aber gilt natürlich nicht.

Teilbarkeit der ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilbarkeitsrelation für ganze Zahlen ist transitiv, denn aus und folgt . Sie ist darüber hinaus eine Quasiordnung. Bei der Einschränkung auf die Menge der natürlichen Zahlen erhält man eine Halbordnung.

Nicht transitiv ist zum Beispiel die Teilerfremdheit. So sind und teilerfremd, ebenso und , jedoch haben und den gemeinsamen Teiler .

Teilmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilmengenbeziehung zwischen Mengen ist transitiv, denn aus und folgt . Darüber hinaus ist eine Halbordnung.

Nicht transitiv ist zum Beispiel die Disjunktheit von Mengen. So sind die Mengen und disjunkt, ebenso und , nicht aber und (da sie das Element 1 gemeinsam haben).

Parallele Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Geometrie ist die Parallelität von Geraden transitiv: Sind sowohl die Geraden und parallel als auch die Geraden und , dann sind auch und parallel. Darüber hinaus ist die Parallelität eine Äquivalenzrelation.

Implikation in der Logik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Logik gilt die Transitivität bezüglich der Implikation, wobei dies in der Prädikatenlogik auch als Modus barbara bekannt ist:

Aus und folgt (vergleiche auch: Schnittregel).

Die Implikation definiert eine Quasiordnung auf den Formeln der jeweils betrachteten Logik.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]