Trapezregel

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Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren, wie man das Integral einer Funktion im Intervall numerisch annähert (Numerische Quadratur).

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen a und b ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

Sehnentrapezformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sehnentrapez

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie (dem Intervall auf der -Achse), den senkrechten Geraden und sowie der Sehne als Verbindungsgerade zwischen und . Diese Sehne ersetzt die Kurve .

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).

Ist zweimal stetig differenzierbar in , dann gilt für das Restglied folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

Ist zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion , wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, streng konkav ist, gilt für alle und daher auch für die Zwischenstelle . Somit folgt, dass , d.h. die gesuchte Fläche ist größer als die Trapezfläche , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Angewandt auf obiges Beispiel:

Wegen folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche kleiner ist als die Trapezfläche , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

Zusammengesetzte Sehnentrapezformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall in nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge . In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:

mit

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite und damit . Dann ist

Sei die Schrittweite und damit . Dann ist

Man sieht hier den Vorteil der Sehnentrapezregel: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, so kann auf die vorangegangene Rechnung zurückgegriffen werden. Das ist bei der Tangententrapezregel (s.u.) nicht der Fall. Das ist einer der Gründe, warum die Romberg-Integration auf der Sehnentrapezregel als Basis aufbaut.

Die allgemeine Formel lautet:

Fehlerabschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle aus dem Intervall

Der Faktor in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), wie es beim Romberg-Verfahren mit der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit folgt

und somit die Fehlerabschätzung

,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

Analog erhält man die Fehlerabschätzung

,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

Es gilt

Fehlerschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnet man die Sehnentrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen , so erhält man folgende Fehlerschätzung:

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangententrapez
Mittelpunktsregel

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie (dem Intervall auf der -Achse), den senkrechten Geraden und sowie der Tangente an in der Mitte des Intervalls . Diese Tangente ersetzt die Kurve .

Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).

Ist zweimal stetig differenzierbar in , dann gilt für das Restglied folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

Ist zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle :

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion , wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, streng konkav ist, gilt für alle und daher auch für die Zwischenstelle . Somit folgt, dass , d.h. die gesuchte Fläche ist kleiner als die Trapezfläche , wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist. Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.

Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im Punkt im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (Mittelpunktsregel) ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.

Angewandt auf obiges Beispiel:

Wegen folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche größer ist als die Trapezfläche , in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.

Zusammengesetzte Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall in nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge . In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:

mit

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite   und damit

Sei die Schrittweite und damit . Dann ist

Im Gegensatz zur Sehnentrapezregel kann bei der Tangententrapezregel bei Verdoppelung der Anzahl der Intervalle auf die vorangegangene Rechnung nicht zurückgegriffen werden.

Fehlerabschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle :

Der Faktor in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit folgt

und somit die Fehlerabschätzung

,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

Analog erhält man als Fehlerabschätzung

,

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

Es gilt

Fehlerschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnet man die Tangententrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen , so erhält man wie bei der Sehnentrapezregel folgende Fehlerschätzung:

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

Zusammenhang mit anderen Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie man an obigen Beispielen sieht, gilt

Die allgemeine Formel lautet:

Für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel erhält man somit

Addiert man zum Näherungswert die Fehlerschätzung für , so erhält man die beiden besseren äquivalenten Formeln:


  1. Das ist die Formel von der Simpsonregel. Somit erhält man eine Formel vom Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert. Diese liefert i.A. bessere Resultate als oder .

  2. Das ist die Formel für die 2. Spalte des Rechenschemas der Romberg-Integration bei Verwendung der Romberg-Folge. Somit ist die 2. Spalte des Rombergschemas die Simpsonregel mit dem Genauigkeitsgrad 3.

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit

eine bessere Näherung für das exakte Integral

als mit , oder

bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie , nämlich 13 Stück.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Josef Stoer: Numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21395-3
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag, Stuttgart, 2002, ISBN 3-519-00356-2, S 317 ff