Trilineare Koordinaten

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Trilineare Koordinaten (genauer: homogene trilineare Koordinaten) sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plücker eingeführtes Hilfsmittel, um die Lage eines Punktes bezüglich eines Dreiecks zu beschreiben.

Definition und Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Für einen beliebigen Punkt P der Zeichenebene heißen drei reelle Zahlen , und (homogene) trilineare Koordinaten von P, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl gibt, sodass

gilt. Dabei bezeichnen , und die vorzeichenbehafteten Abstände des Punktes P von den Geraden BC, CA bzw. AB. Die Größe erhält positives Vorzeichen, wenn P auf derselben Seite von BC liegt wie die Ecke A, und negatives Vorzeichen, wenn sich P und A auf verschiedenen Seiten von BC befinden. Entsprechend werden die beiden anderen Vorzeichen festgelegt.

Die Gesamtheit der trilinearen Koordinaten eines Punktes wird entweder als geordnetes Tripel geschrieben oder in der Form .

TrilinKoord.svg

Trilineare Koordinaten sind nicht eindeutig definiert: Multiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 liefert wieder trilineare Koordinaten des gegebenen Punktes.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Ecken A, B und C des gegebenen Dreiecks haben die trilinearen Koordinaten , bzw. .
  • Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks hat die trilinearen Koordinaten , da er von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
  • Für den Schwerpunkt eines Dreiecks lauten die trilinearen Koordinaten gleichwertig oder oder . Dabei stehen a, b, c für die Seitenlängen und , , für die Größen der Innenwinkel.

Zusammenhang mit den baryzentrischen Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwischen den trilinearen Koordinaten und den in der Dreiecksgeometrie ebenfalls häufig verwendeten baryzentrischen Koordinaten besteht ein einfacher Zusammenhang: Sind die trilinearen Koordinaten durch gegeben, so erhält man als baryzentrische Koordinaten , wobei a, b und c für die Seitenlängen stehen.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trilineare Koordinaten ermöglichen in vielen Fällen die Anwendung algebraischer Methoden in der Dreiecksgeometrie. Beispielsweise sind drei Punkte , und mit den trilinearen Koordinaten

genau dann kollinear, wenn die Determinante

gleich 0 ist. Die zu diesem Satz duale Aussage ist ebenfalls richtig: Drei Geraden, die durch die Gleichungen

,
,

gegeben sind, haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn gilt.