Umkehrregel

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Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion ,

  • die an der Stelle differenzierbar ist und
  • dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die gilt,

auch ihre Umkehrfunktion an der Stelle differenzierbar ist mit Ableitung

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten und . Die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung . Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

Beweisskizzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

dahingehend umformt, dass er zu

wird, um anschließend mit zu substituieren. Beim Grenzübergang für und damit auch (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt die Behauptung.

Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit ):

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von an der Stelle schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion , indem man die letzte Gleichung erneut nach differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist bzw. ):

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus

Wegen gilt also

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für wegen

Mit der Identität folgt

Analoges gilt für die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens.

Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternative Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von , so genügt bereits die Voraussetzung , da daraus direkt auf einem kleinen Bereich um und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von !). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird manchmal die leibnizsche Schreibweise mit Differentialen benutzt. Die Umkehrregel nimmt dann die folgende Gestalt an:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrregel lässt sich auf die Ableitungen von Funktionen in mehreren Dimensionen verallgemeinern. Die mehrdimensionale Entsprechung der Umkehrregel ist der Satz von der Umkehrabbildung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]