Umsatzvariable

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Die Umsatzvariable ξ[1] (extent of reaction[2]) ist eine extensive Größe. Die Umsatzvariable ξ ist nach IUPAC die Menge abgelaufener chemischer Reaktionen. Die Umsatzvariable ξ ist gleich der umgesetzten Stoffmenge eines Reaktionsteilnehmers geteilt durch dessen stöchiometrischen Faktor.

Die Maßeinheit für ξ ist das Mol.

Der kleinste Umsatz ist der elementare Formelumsatz. Der elementare Formelumsatz ist der Umsatz einer Reaktionsgleichung in Teilchen gelesen. Die Frage, ob der elementare Formelumsatz eine Elementarreaktion ist, bleibt davon unberührt. Der elementare Formelumsatz wird wie ein Teilchen als abzählbares Objekt (Einzelheit) behandelt. Die Umsatzvariable ξ wird deshalb folgerichtig auch als Objektmenge an Formelumsätzen ξ[3][4][5] bezeichnet. Üblich ist auch noch der ältere Begriff Reaktionslaufzahl ξ[6]. Im Deutschen gibt es somit drei Begriffe für die Menge abgelaufener Reaktionen. Das Verständnis wird weiter erschwert, wenn der absolute und relative Umsatz unterscheidungslos als Umsatz bezeichnet wird. Hier ist mit Umsatz der absolute Umsatz, z.B. in mol gemeint.

Mathematische Definition[Bearbeiten]

Die Umsatzvariable ξ ist die Menge abgelaufener Reaktionen (Objektmenge an elementaren Formelumsätzen). Die Umsatzvariable bezieht sich auf eine bestimmte Reaktionsgleichung. Die Umsatzvariable ξ ist gleich der umgesetzten Stoffmenge eines Reaktionsteilnehmers geteilt durch dessen stöchiometrischen Faktor:

\xi = \frac{N(F)}{N_A}= \frac{\Delta N_j}{\nu_j \cdot N_A}=\frac{\Delta n_j}{\nu_j}, \qquad  \nu_j=const
  • N(F): Anzahl elementarer Formelumsätze(F)
  • NA: Avogadro-Konstante
  • ΔNj: Anzahl der an der Reaktion beteiligten Teilchen einer Komponente j
  • νj: Stöchiometrischer Koeffizient der Komponente j
  • Δnj: Umsatz der Komponente j

Die Umsatzvariable ξ ist somit proportional dem experimentell bestimmbaren Umsatz der an der Reaktion beteiligten Komponenten. Die Umsatzvariable nimmt unter Verwendung der gängigen Vorzeichenkonvention (stöchiometrische Koeffizienten der Edukte negativ, die der Produkte positiv) immer positive Werte an.

Kann keine bestimmte Reaktionsgleichung formuliert werden, z.B. wegen Konkurrenzreaktionen, die letztlich zu unterschiedlichen Nebenprodukten führen, auch in Abhängigkeit von den Reaktionsbedingungen, so variieren die stöchiometrischen Faktoren und es bleibt nur ein differentieller Ansatz:

\mathrm d\xi = \frac{dn_j}{\nu_j},\qquad  \nu_j\neq const

Diese Definition wird zwar komplexen chemischen Reaktionen gerecht, wird aber praktisch nicht genutzt. Komplexe chemische Systeme werden, wenn ihre einzelnen Reaktionen bekannt sind, mit ihrer Stöchiometrischen Matrix beschrieben werden.

Allgemeines[Bearbeiten]

Für ξ = 1 mol wird von einem Formelumsatz[7] gesprochen. Die Umsatzvariable ist dann gleich der Anzahl Formelumsätze und der Formelumsatz ein sogenannter Einheitsumsatz.

\xi=\left\{\xi\right\}\;\left[\xi\right]
(ξ = Anzahl Formelumsätze(auch als nF bezeichnet[8]))

Wird der elementare Formelumsatz als Einheitsumsatz gewählt, so ist ξ die Objektmenge an elementaren Formelumsätzen - kurz: Objektmenge an Formelumsätzen.

Mit der Umsatzvariablen kann der Umsatz einer chemischen Reaktion mit einer einzigen Größe angegeben werden.

Häufig wird der relative Umsatz - auch Umsatzgrad genannt - (Anteil des Umsatzes bezogen auf einen maximalen Umsatz) auch als Umsatzvariable ξ bezeichnet. Das ist in der Fachliteratur üblich aber formal nicht korrekt , da im "gold book" dafür der Reaktionsgrad (degree of reaction) genannt wird.

Reaktionsgrad einer chemischen Reaktion[Bearbeiten]

Der Reaktionsgrad (degree of reaction) α[9] ist das Verhältnis der Umsatzvariablen zur maximalen Umsatzvariablen:

\alpha=\frac{\xi}{\xi_{max}}
  • ξmax: Umsatzvariable für den restlosen Verbrauch eines Ausgangsstoffes

Für eine stöchiometrische Reaktion sind die Umsatzgrade aller Reaktionsteilnehmer gleich, nämlich gleich dem Reaktionsgrad. Ansonsten ist der Umsatzgrad des Reaktanden, der zuerst verbraucht werden würde, gleich dem Reaktionsgrad:

\alpha=\frac{\Delta n_j}{n_{0,j}}
  • Δnj: Umsatz der Komponente j
  • n0,j: Stoffmenge der Komponente j vor der Reaktion

Eine Dissoziation ist durch den Dissoziationsgrad α gekennzeichnet. Der Reaktionsgrad zum Gleichgewicht wird mit ρ bezeichnet (Siehe unten).

Der Reaktionsgrad wird häufig falsch als Umsatzvariable bezeichnet.

Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion[Bearbeiten]

Die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion lässt sich mit Hilfe der Umsatzvariablen wie folgt definieren:

\dot\xi = \frac{d\xi}{dt}

Einfache Reaktionen[Bearbeiten]

Für ein und dieselbe stöchiometrische Gleichung gibt es genau eine Umsatzvariable, was an folgendem Beispiel verdeutlicht werden soll:

\mathrm{3\,H_2 + N_2\, \longrightarrow \, 2\,NH_3}

Die Umsatzvariable ergibt sich hier zu: \xi\ = \frac{\Delta n{(H_2)}}{-3}=\frac{\Delta n{(N_2)}}{-1}=\frac{\Delta n{(NH_3)}}{2}

Gleichgewichtsreaktionen[Bearbeiten]

Bei Gleichgewichtsreaktionen ist ξeq < ξmax. Die Berechnung der Umsatzvariablen ξeq bis zur Einstellung des Gleichgewichts erfordert die Berechnung des entsprechenden Reaktionsgrades ρ. Für eine Gleichgewichtsreaktion

\mathrm{\nu_A A + \nu_B B \rightleftharpoons \nu_C C + \nu_D D}

gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gleichgewichtskonstanten Kc und dem Reaktionsgrad ρ[10]

\mathrm{K_c = \frac{{q_C}^{|\nu_C|}\cdot{q_D}^{|\nu_C|}}{{q_A}^{|\nu_A|}\cdot{q_B}^{|\nu_B|}} \cdot \bigg(\frac{\xi_{max}}v\bigg)^{\sum{\nu_i}}}
  • \mathrm{q_i = \frac{{n_i}_{eq}}{\xi_{max}}=\frac{{n_i}_{o}}{\xi_{max}}-{\nu_i}\cdot{\varrho}}
  • nieq: Stoffmenge der Komponente i im Gleichgewicht
  • \mathrm{\varrho = \frac{\xi_{eq}}{\xi_{max}}}: Der Reaktionsgrad zum Gleichgewicht ist die Umsatzvariable zum Gleichgewicht im Verhältnis zur maximalen Umsatzvariablen.
  • νi: Stöchiometrischer Koeffizient
  • ξmax: Umsatzvariable für den restlosen Verbrauch eines Ausgangsstoffes
  • v: Volumen

Die Gleichgewichtskonstante bestimmt den Reaktionsgrad zum Gleichgewicht ρ. Die Gleichung ist nur für einfache Reaktionen nach dem Reaktionsgrad ρ analytisch lösbar.[11]

Literatur[Bearbeiten]

  • Umsatzvariable. In: Römpp Online. Georg Thieme Verlag, abgerufen am 27. Mai 2013.
  •  Eintrag: extent of reaction. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.E02283 (Version: 2.3.2).
  •  Eintrag: degree of reaction. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.D01570 (Version: 2.3.2).
  • Möbius, H.: Chemische Thermodynamik.- 5. Auflage.- Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig.-1988 S. 24 ISBN 3-342-00294-8
  • Autorenkollektiv: Lehrbuch der Chemie.-1. Auflage.-Cornelsen Verlag, Berlin.-2009.-S. 73 ISBN 978-3-06-011173-2
  • TGL 31548 Einheiten physikalischer Größen.-1979-03
  • DIN 32642: Symbolische Beschreibung chemischer Reaktionen.-1992-01

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. DIN 32642: Symbolische Beschreibung chemischer Reaktionen.-1992-01
  2. Eintrag: extent of reaction. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.E02283 (Version: 2.3.2).
  3. TGL 31548 Einheiten physikalischer Größen.-1979-03
  4. Möbius, H.: Chemische Thermodynamik.- 5. Auflage.- Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig.-1988 S. 24 ISBN 3-342-00294-8
  5. Autorenkollektiv: Lehrbuch der Chemie.-1. Auflage.-Cornelsen Verlag, Berlin.-2009.-S. 73 ISBN 978-3-06-011173-2
  6. Wedler, G.: Lehrbuch der Physikalische Chemie.-6. Auflage.-WILEY-VCH-Verlag GmbH Weinheim.-2012.
  7. DIN 32642: Symbolische Beschreibung chemischer Reaktionen.-1992-01
  8. Autorenkollektiv: Lehrbuch der Chemie.-1. Auflage.-Cornelsen Verlag, Berlin.-2009.-S. 73 ISBN 978-3-06-011173-2
  9.  Eintrag: degree of reaction. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.D01570 (Version: 2.3.2).
  10. Möbius, H.: Chemische Thermodynamik.- 5. Auflage.- Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig.-1988 S. 248-254 ISBN 3-342-00294-8
  11. Atkins, P.: Lehrbuch der Physikalische Chemie.-5. Auflage.-WILEY-VCH-Verlag GmbH Weinheim.-2013.-S.230