Stammfunktion

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Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion versteht man eine differenzierbare Funktion deren Ableitungsfunktion mit übereinstimmt. Ist also auf einem Intervall definiert, so muss auf definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl aus gelten:

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist nämlich integrierbar und die Integralfunktion

ist eine Stammfunktion von .

Ist auf integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. Notwendig für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass die Funktion den Zwischenwertsatz erfüllt. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen.

Besitzt eine Funktion eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich eine Stammfunktion von , so ist für jede beliebige reelle Zahl auch die durch definierte Funktion eine Stammfunktion von . Ist der Definitionsbereich von ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen: Sind und zwei Stammfunktionen von , so ist konstant. Ist der Definitionsbereich von kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen von nicht notwendigerweise konstant, aber lokal konstant, das heißt, konstant auf jeder zusammenhängenden Teilmenge des Definitionsbereichs.

Unbestimmtes Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral von als Synonym für eine Stammfunktion verstanden.[1] Das Problem dieser Definition ist, dass der Ausdruck widersinnig ist. Denn in diesem Fall ist das unbestimmte Integral keine Abbildung, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion abgebildet werden soll. Da die Konstante, um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren.[2] Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte Äquivalenzklassen sind.

Eine etwas weniger geläufige Methode, das unbestimmte Integral zu definieren, ist es, es als Parameterintegral

aufzufassen.[3] Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt dieser Ausdruck für jede stetige Funktion eine Stammfunktion von . Erweitert man diese Definition noch auf Lebesgue-Integrale über beliebigen Maßräumen, so ist das unbestimmte Integral im Allgemeinen keine Stammfunktion mehr.[4]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Stammfunktion der Polynomfunktion ist . Die Konstante wurde dabei frei gewählt, in diesem Fall konnte diese Stammfunktion durch Umkehrung elementarer Ableitungsregeln gewonnen werden.
  • Betrachtet man die Funktion

    dann gilt . Jedoch ist keine Stammfunktion von , denn ist für nicht differenzierbar.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall stetige (oder allgemeiner Riemann-integrierbare[5]) Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion von das bestimmte Integral von über berechnen:

Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z. B.:

Abgeschlossenheit/Integrationsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Differenzieren gibt es einfache Regeln. Dagegen ist die Situation beim unbestimmten Integrieren ganz anders, da die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionensklassen führt, z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen und . Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die einfache Funktion keine elementare Stammfunktion besitzt. Auch die einfache Funktion besitzt keine elementare Stammfunktion. Dagegen ist .

Die Technik des Integrierens basiert auf folgenden Integrationsregeln:

Da es keine allgemeine Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen gibt, werden Stammfunktionen in sogenannten Integraltafeln tabelliert. Computeralgebrasysteme (CAS) sind heute in der Lage, fast alle bisher tabellierten Integrale zu berechnen. Der Risch-Algorithmus löst das Problem der algebraischen Integration elementarer Funktionen und kann entscheiden, ob eine elementare Stammfunktion existiert.

Stammfunktionen für komplexe Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch für komplexe Funktionen formulieren. Weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist ein Gebiet, eine holomorphe Funktion und , dann gibt es eine Umgebung von in und eine Stammfunktion von , d.h. für alle .

Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz hängt mit topologischen Eigenschaften von zusammen. Für eine holomorphe Funktion sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Funktion hat eine Stammfunktion auf ganz , das heißt, ist holomorph und ist die komplexe Ableitung von .
  2. Wegintegrale über hängen nur von den Endpunkten des Weges ab.
  3. Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0.

Für ein Gebiet sind äquivalent:

  1. Jede holomorphe Funktion hat eine Stammfunktion .
  2. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomotop.
  3. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomolog.
  4. ist einfach zusammenhängend.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Stammfunktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, Kap. 76.
  2. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201
  3. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 201.
  4. I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt am Main, ISBN 3-87144-217-8, S. 408.
  5. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1977, ISBN 3-423-03008-9, S. 333.