Ungleichungen in Vierecken

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum befindet. bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, die Diagonallängen eines Vierecks.

Größen im Viereck

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

Daraus folgt:

Ptolemäische Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In jedem Viereck gilt

.

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).

Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

Vierecksungleichung für Metriken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

.

Beweis:

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

bzw.

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

falls gilt bzw. im Fall

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien