Unitäre Abbildung

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Eine unitäre Abbildung oder unitäre Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Unitäre Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend. Die bijektiven unitären Abbildungen eines Skalarproduktraums in sich bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Die Eigenwerte einer solchen Abbildung haben alle den Betrag eins. In endlichdimensionalen Skalarprodukträumen können bijektive unitäre Abbildungen durch unitäre Matrizen dargestellt werden.

Die entsprechenden Gegenstücke bei reellen Skalarprodukträumen sind orthogonale Abbildungen. Eine bijektive unitäre Abbildung zwischen zwei Hilberträumen wird auch unitärer Operator genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen und heißt unitär, wenn für alle Vektoren

gilt. Eine unitäre Abbildung ist demnach dadurch charakterisiert, dass sie das Skalarprodukt von Vektoren erhält. Insbesondere bildet eine unitäre Abbildung zueinander orthogonale Vektoren und (also Vektoren, deren Skalarprodukt null ist) auf zueinander orthogonale Vektoren und ab.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die identische Abbildung

ist trivialerweise unitär. Im Koordinatenraum sind unitäre Abbildungen gerade von der Form

,

wobei eine unitäre Matrix ist. Im Raum der quadratisch summierbaren komplexen Zahlenfolgen stellt beispielsweise der Rechtsshift

eine unitäre Abbildung dar. Weitere wichtige unitäre Abbildungen sind Integraltransformationen der Form

mit einem geeignet gewählten Integralkern . Ein wichtiges Beispiel hierfür ist die Fouriertransformation, deren Unitarität aus dem Satz von Plancherel folgt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei das komplexe Skalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument. Die Zusätze werden dabei weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

Linearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine unitäre Abbildung ist linear, das heißt für alle Vektoren und Skalare gilt

.

Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts

sowie

Aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann die Additivität und die Homogenität der Abbildung.

Injektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kern einer unitären Abbildung enthält nur den Nullvektor, denn für gilt

und aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann . Eine unitäre Abbildung ist demnach stets injektiv. Sind und endlichdimensional mit der gleichen Dimension, dann gilt aufgrund des Rangsatzes

und somit ist auch surjektiv und damit bijektiv. Unitäre Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Räumen müssen jedoch nicht notwendigerweise surjektiv sein; ein Beispiel hierfür ist der Rechtsshift.

Normerhaltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine unitäre Abbildung erhält die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt

,

denn es gilt

.

Umgekehrt ist jede lineare Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen, die die Skalarproduktnorm erhält, unitär. Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts einerseits

und mit der Linearität der Abbildung andererseits

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen folgt daraus dann die Übereinstimmung der Realteile. Durch eine analoge Betrachtung von folgt auch die Übereinstimmung der Imaginärteile und damit die Unitarität der Abbildung.

Isometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der Normerhaltung und der Linearität erhält eine unitäre Abbildung auch den Abstand zweier Vektoren, denn für die von der Norm induzierte Metrik gilt

.

Eine unitäre Abbildung stellt damit eine Isometrie dar. Umgekehrt ist jede lineare Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen unitär, wenn sie Abstände erhält. Aus der Polarisationsformel folgt nämlich

Existiert eine bijektive unitäre Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen, dann sind die beiden Räume isometrisch isomorph.

Unitäre Endomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine unitäre Abbildung stellt einen Endomorphismus dar. Die Hintereinanderausführung zweier unitärer Endomorphismen ist wiederum unitär, denn es gilt

.

Ist ein unitärer Endomorphismus bijektiv, dann ist seine Inverse aufgrund von

ebenfalls unitär. Die bijektiven unitären Endomorphismen von bilden demnach eine Untergruppe der Automorphismengruppe . Ist der Raum endlichdimensional mit der Dimension , so ist diese Gruppe isomorph zur unitären Gruppe .

Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Eigenwert einer unitären Abbildung mit zugehörigem Eigenvektor , so gilt

und damit . Die Eigenwerte einer unitären Abbildung haben also alle den Betrag eins und sind demnach von der Form

mit .

Abbildungsmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildungsmatrix einer unitären Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis von ist stets unitär, das heißt

,

denn es gilt

,

wobei und sind.

Unitäre Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Unitärer Operator

Eine bijektive unitäre Abbildung zwischen zwei Hilberträumen wird auch unitärer Operator genannt. Unitäre Operatoren sind stets beschränkt und normal. Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator, das heißt, es gilt

.

Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen Funktionenräumen sind die Fouriertransformation und die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ina Kersten: Analytische Geometrie und lineare Algebra. Band 1. Universitätsverlag Göttingen, 2005, ISBN 978-3-938616-26-0.
  • Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.
  • Dietlinde Lau: Algebra und diskrete Mathematik. Band 1. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-19443-6.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]