Teilsummenproblem

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Das Teilsummenproblem (auch Untermengensummenproblem, engl. subset sum problem) ist ein berühmtes Problem der Informatik und des Operations Research. Es ist ein spezielles Rucksackproblem.

Problembeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Menge von ganzen Zahlen . Gesucht ist eine Untermenge, deren Elementsumme maximal, aber nicht größer als eine gegebene obere Schranke ist (oft ist auch gefragt, die Schranke exakt zu erreichen).

Formal: Gesucht sind , die maximieren unter der Nebenbedingung .

NP-Vollständigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Problem ist NP-vollständig und somit vermutlich nicht effizient lösbar. Es kann mit der Branch-and-Bound-Methode gelöst werden.

Der Beweis der NP-Schwere erfolgt durch eine Reduktion von 3-SAT. Für eine gegebene Klauselmenge mit den Variablen werden die Dezimalzahlen sowie die Schranke anhand einer Tabelle konstruiert. Es wird vorausgesetzt, dass keine Klauseln vorhanden sind, die und gleichzeitig enthalten; dies ist keine Einschränkung, da eine solche Klausel immer erfüllt wäre und somit weggelassen werden kann, ohne den Sinn zu verändern.

Beispielsweise wird die Formel wie folgt verarbeitet (eine Erklärung folgt nach der Tabelle).

1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 2
1 1 1 4 4 4
  • Die ersten 2n Zeilen sind lediglich eine Codierung der Formel selbst: besagt, dass in den Klauseln und , aber nicht vorkommt. setzt das für um, für , für etc.
  • Die Zeilen bis sind "Korrekturzeilen", die nur auf der Diagonalen jeweils abwechselnd den Wert 1 oder 2 haben.
  • Die Zahl besteht nur aus n Einsen und m Vieren. Dies bewirkt, dass bei Addition der Spaltenwerte, an den ersten n Stellen nur entweder oder ; oder etc. ausgewählt werden kann, wodurch in der Formel auf true oder false gesetzt wird. Die Vieren sind so gewählt, dass zusätzlich zu den beiden Korrekturwerten, die zusammen nur 1+2=3 ergeben, noch mindestens eine der Variablen in den Klauseln vorhanden sein muss, um auf 4 zu kommen. Sind mehr Variablen verfügbar, können entsprechend Korrekturzeilen weggelassen werden.

Besitzt nun die boolesche Formel eine erfüllende Belegung, so nehmen wir falls =true die Zahl auf; falls =false die Zahl . Damit sind schon die Einsen in korrekt. Da alle Klauseln erfüllt sind, ist in den gerade hinzugefügten Zahlen in jeder Klausel mindestens eine erfüllte Variable vorhanden, somit sind die Spaltensummen im rechten Teil schon mindestens 1 und höchstens 3. Nun muss man nur noch die Korrekturvariablen geeignet wählen um auf 4 zu kommen. Mit der konstruierten Menge ist es so möglich, genau zu erreichen, wenn die Formel erfüllbar ist.

Wenn nun genau erreicht werden kann, so muss die Teilmenge der zunächst jeweils genau ein oder ; oder etc. enthalten, weil sonst die Einsen in nicht erfüllt wären. Somit ist gewährleistet, dass eine Variable tatsächlich true oder false (und nicht keins oder beides) ist. Durch diese Auswahl der Teilmenge muss dann auch jede Klausel erfüllt sein, denn wenn in einer Klausel keine Variable durch die Belegung erfüllt wäre, so würde die Addition nicht die notwendige Vier in ergeben. Daher ist die boolesche Formel insgesamt erfüllbar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Soma, Nei Y. Toth, Paolo: An exact algorithm for the subset sum problem. European Journal of Operational Research 136 S. 57-66
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, und Clifford Stein. Algorithmen - Eine Einführung., Oldenbourg-Verlag, 2004. ISBN 3-486-27515-1. Seiten 1017ff.