Unterteilungsgraph

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Unterteilungsgraph des vollständigen Graphen K5, der durch Unterteilung aller Kanten entsteht

Ein Unterteilungsgraph ist in der Graphentheorie ein Graph, der durch Kantenunterteilung aus einem anderen Graph entstanden ist. Zwei Graphen heißen homöomorph, falls sie Unterteilungsgraphen besitzen, die isomorph sind. Unterteilungsgraphen spielen unter anderem im Satz von Kuratowski und in der Hajós-Vermutung eine wichtige Rolle.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unterteilungsgraph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph subdivision step1.svg
Graph subdivision step2.svg
Kante vor und nach Unterteilung

Sei ein ungerichteter Graph, dann versteht man unter einer Unterteilung einer Kante die Ersetzung dieser Kante durch zwei neue Kanten und , die die beiden Knoten und der entfernten Kante mit einem neuen Knoten verbinden. Auf diese Weise entsteht ein neuer Graph mit der neuen Knotenmenge

und der neuen Kantenmenge

,

wobei und sind. Ein Unterteilungsgraph eines Graphen ist nun ein Graph, der aus diesem durch (null-, ein- oder mehrmalige) Kantenunterteilung entsteht.

Homöomorphie von Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Graphen heißen homöomorph, falls Unterteilungsgraphen dieser beiden Graphen existieren, die zueinander isomorph sind. Als den Homöomorphie-Ursprung eines Graphen bezeichnet man den kleinsten Graph, der zu diesem homöomorph ist. Man kann den Homöomorphie-Ursprung eines Graphen durch wiederholtes Entfernen von Knoten vom Grad zwei (Schleifen ausgenommen) und Einfügen einer Kante, die die beiden Nachbarknoten des entfernten Knoten verbindet, ermitteln. Zwei Graphen sind nun genau dann homöomorph, wenn ihre Homöomorphie-Ursprünge isomorph sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden beiden Graphen und sind homöomorph, da sie den gemeinsamen Unterteilungsgraphen besitzen. Der Homöomorphie-Ursprung der beiden Graphen ist der Graph .

Auch alle Kreisgraphen sind für zueinander homöomorph mit dem Graphen als Homöomorphie-Ursprung.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unterteilungsgraphen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Kuratowski. Nach diesem Satz ist ein endlicher Graph genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch Unterteilung des vollständigen Graphen oder des vollständig bipartiten Graphen entstanden ist. Des Weiteren dienen sie auch zur Definition von topologischen Minoren.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]