Varianzreduktion

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Varianzreduktion ist der Oberbegriff für verschiedene Techniken zur Effizienzsteigerung bei Monte-Carlo-Simulationen. Diese wurden zuerst 1955 durch Herman Kahn beschrieben.[1] Wichtige Varianzreduktionstechniken sind:

Grundidee[Bearbeiten]

Das Standardvorgehen bei Monte-Carlo-Simulationen besteht darin, eine gesuchte Größe s, wie etwa ein Integral, eine komplizierte Summe oder einen unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, durch einen Erwartungswert auszudrücken, beispielsweise in der Form

s = \operatorname{E}(f(X))

mit einer geeigneten reellwertigen Funktion f und einer Zufallsvariable X, für die leicht eine große Anzahl von Realisierungen algorithmisch generiert werden kann, im Allgemeinen mithilfe von Pseudozufallszahlen.

Ist nun X_1, \dotsc, X_n eine solche Stichprobe von unabhängigen Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung wie X besitzen, so lässt sich s für große n annähern durch das arithmetische Mittel

S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i),

denn wegen der Linearität des Erwartungwerts gilt \operatorname{E}(S_n) = s und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen konvergieren die Näherungen S_n fast sicher gegen den gesuchten Wert s.

Die Genauigkeit dieser Schätzung lässt sich mithilfe der Varianz von S_n messen. Nach der Gleichung von Bienaymé gilt wegen der Unabhängigkeit der X_i (und damit auch der f(X_i))

\operatorname{Var}(S_n) = \frac{1}{n}\operatorname{Var}(f(X)).

Die Proportionalität der Varianz zum Kehrwert der Stichprobengröße n, und damit die Konvergenzordnung \mathcal{O}\left(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\right) der Standardabweichung von S_n, lässt sich im Allgemeinen nicht weiter verbessern. Aus diesem Grund setzen Verfahren zur Varianzreduktion beim Proportionalitätsfaktor \operatorname{Var}(f(X)) selbst an, indem sie für konkrete Fälle Möglichkeiten angeben, die Funktion f und die Verteilung von X so zu wählen, dass dieser möglichst klein wird.

Bei realistischen Anwendungen kann im Allgemeinen die Varianz von f(X) nicht exakt berechnet werden, da dann ja nicht einmal der Erwartungswert dieser Zufallsvariable bekannt ist. In diesem Fall kann \operatorname{Var}(f(X)) mit Hilfe der Stichprobenvarianz

\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (f(X_i) - S_n)^2

geschätzt werden.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Thomas Müller-Gronbach, Erich Novak, Klaus Ritter: Monte Carlo-Algorithmen. Springer, 2012, ISBN 978-3-540-89140-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Herman Kahn, Use of different Monte Carlo Sampling Techniques, http://www.rand.org/pubs/papers/2008/P766.pdf