Variationsmethode

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Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.

Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundzustand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist die Entartung eines Eigenwertes , so lässt sich ein beliebiger Zustand als

schreiben, wobei die ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen mit Eigenwerten gilt dann

.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für finden, wenn man für eine Schar von Zuständen den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

.

Angeregte Zustände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert , so lässt sich für einen beliebigen Zustand schreiben

,

wo . Zerlegt man wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung

,

da in der Summe der Wert fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
  • Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008