Variationsmethode

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Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.

Verfahren[Bearbeiten]

Grundzustand[Bearbeiten]

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist g_i die Entartung eines Eigenwertes i, so lässt sich ein beliebiger Zustand als

|\psi\rangle = \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} c_{i,j} |\psi_{i,j}\rangle

schreiben, wobei die |\psi_{i,j}\rangle ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen H mit Eigenwerten E_i gilt dann

\langle\psi|H|\psi\rangle = \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} E_i |c_{i,j}|^2 \geq E_0 \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} |c_{i,j}|^2 = E_0\langle\psi|\psi\rangle.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für E_0 finden, wenn man für eine Schar von Zuständen |\psi_\alpha\rangle den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

E_0 \leq \inf_\alpha \frac{\langle\psi_\alpha|H|\psi_\alpha\rangle}{\langle\psi_\alpha|\psi_\alpha\rangle}.

Angeregte Zustände[Bearbeiten]

Ist |\psi_0\rangle die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert E_0, so lässt sich für einen beliebigen Zustand |\psi\rangle schreiben

H|\psi\rangle = c_0E_0|\psi_0\rangle + \varepsilon |\varphi\rangle,

wo |\varphi\rangle \perp |\psi_0\rangle. Zerlegt man |\varphi\rangle wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung \langle\varphi|\psi_0\rangle=0

E_1 \leq \inf_{\alpha} \frac{\langle\varphi_\alpha|H|\varphi_\alpha\rangle}{\langle\varphi_\alpha|\varphi_\alpha\rangle},

da in der Summe der Wert i=0 fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur[Bearbeiten]

  • Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
  • Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008