Vektorieller Laplace-Operator

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Der vektorielle Laplace-Operator \nabla^2 nach Pierre-Simon Laplace ist ein Differentialoperator, der auf eine vektorwertige Funktion wirkt.

Während der skalare Laplace-Operator auf eine skalare Funktion wirkt und eine skalare Funktion als Ergebnis liefert, wirkt der vektorielle Laplace-Operator auf eine vektorielle Funktion und liefert als Ergebnis eine vektorielle Funktion. In der Physik taucht der vektorielle Laplace-Operator in den Wellengleichungen für elektromagnetische Felder auf (siehe Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung). Somit taucht der vektorielle Laplace-Operator auch im d’Alembert-Operator auf wenn dieser auf eine vektorwertige Funktion angewandt wird.

Definition[Bearbeiten]

Sei \vec{A} \colon \R^n \to \R^n mit n = 2,3 ein Vektorfeld. Mittels der Graßmann-Identität gilt

(\nabla \cdot \nabla) \vec{A} = \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{A})\,,

wobei \nabla der Nabla-Operator ist. Mit \nabla \cdot \vec{A} wird also die Divergenz und mit \nabla \times \vec{A} die Rotation des Vektorfelds \vec{A} bezeichnet. Daher ist der vektorielle Laplace-Operator \nabla^2 definiert durch[1]

\nabla^2 \vec{A} := \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) .

Koordinatendarstellungen[Bearbeiten]

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten]

In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten erhält man die Form

 \nabla^2 \vec{A} = (\Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z)\,,

wobei A_i die jeweiligen kartesischen Komponenten des Vektorfeldes \vec{A} sind und \Delta der skalare Laplace-Operator ist.

Zylinderkoordinaten[Bearbeiten]

Ist das Vektorfeld \vec A in Zylinderkoordinaten gegeben mit der Komponentendarstellung

\vec A = A_r \vec e_r + A_\varphi \vec e_\varphi + A_z \vec e_z,

wobei \vec e_r, \vec e_\varphi, \vec e_z die dem Koordinatensystem angepasste, vom Punkt abhängige Orthogonalbasis ist, so gilt:


\begin{align}
\Delta \vec  A = & \displaystyle 
\left(\frac{\partial^2 A_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 A_r}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial r} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - \frac{A_r}{r^2}\right) \vec e_r \\ 
\displaystyle & + \left(\frac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 A_\varphi}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\varphi}{\partial r} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{A_\varphi}{r^2}\right)\vec e_\varphi \\
\displaystyle & + \left(\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_z}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec e_z\  \end{align}

Kugelkoordinaten[Bearbeiten]

Ist das Vektorfeld \vec A in Kugelkoordinaten (r, \theta, \varphi) gegeben (wobei \theta den Polarwinkel und \phi den Azimutwinkel bezeichnet) mit Komponentendarstellung

\vec A = A_r \vec e_r + A_\theta \vec e_\theta + A_\varphi \vec e_\varphi ,

wobei \vec e_r, \vec e_\theta, \vec e_\varphi die dem Koordinatensystem angepasste, vom Punkt abhängige Orthogonalbasis ist, so gilt:


\begin{align}
\Delta \vec  A = & \displaystyle 
\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A_r)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2  \sin \theta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - \frac{2A_r}{r^2} - \frac{2 \cot \theta}{r^2} A_\theta \right)\vec e_r \\
\displaystyle & + \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A_\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{r^2  \sin^2 \theta} \right)\vec e_\theta \\
\displaystyle & +\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A_\varphi)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \frac{2}{r^2  \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} - \frac{A_\varphi}{r^2  \sin^2 \theta} \right)\vec e_\varphi
\end{align}

Siehe auch[Bearbeiten]

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch).