Kreuzprodukt

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Produkt zweier Vektoren im Raum; für weitere Begriffe siehe Kreuzprodukt (Begriffsklärung).
Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom Skalarprodukt, zu unterscheiden, wird es mit einem Malkreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Die Namen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, der Name äußeres Produkt wurde von dem Mathematiker Hermann Graßmann geprägt.[1]

Das Kreuzprodukt der Vektoren und ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren und aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt beispielsweise bei der Berechnung der Lorentzkraft sowie in diversen Drehgrößen wie Drehmoment, Drehimpuls, Corioliskraft usw. auf.

Geometrische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren und im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor, der orthogonal zu und , und damit zu der von und aufgespannten Ebene ist.

Dieser Vektor ist so orientiert, dass und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, das heißt, und verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).

Flächeninhalt Parallelogramm Kreuzprodukt.png

Der Betrag von gibt den Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms an. Ausgedrückt durch den von und eingeschlossenen Winkel gilt

Dabei bezeichnen und die Längen der Vektoren und , und ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels .

Zusammenfassend gilt also

wobei der Vektor derjenige zu und senkrechte Einheitsvektor ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

Begriff und Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In verschiedenen Ländern sind für das Vektorprodukt zum Teil verschiedene Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren und für gewöhnlich die Schreibweise verwendet, in Frankreich wird dagegen die Schreibweise bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise oder notiert.

Die Schreibweise und die Bezeichnung äußeres Produkt werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten Bivektor zuordnet, siehe Graßmann-Algebra.

Komponentenweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem bzw. im reellen Koordinatenraum mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung gilt für das Kreuzprodukt:

Ein Zahlenbeispiel:

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die Determinante. Dabei notiert man eine -Matrix, in deren erster Spalte die Symbole , und für die Standardbasis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors und die dritte von denen des Vektors gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt

oder mit Hilfe der Regel von Sarrus:

Mit dem Levi-Civita-Symbol schreibt sich das Kreuzprodukt als

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bilinearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist bilinear,[2] das heißt, für alle Zahlen , und und alle Vektoren , und gilt

Alternierende Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst oder einem kollinearen Vektor ergibt den Nullvektor

.

Bilineare Abbildungen, für die diese Gleichung gilt, werden alternierend genannt.[2]

Antikommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Das heißt, bei Vertauschung der Vektoren wechselt es das Vorzeichen:[2]

Jacobi-Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Stattdessen gilt die Jacobi-Identität, das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte

verschwindet.

Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor genannten bildet der zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Beziehung zur Determinante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jeden Vektor gilt:

.

Dabei bezeichnet der Malpunkt das Skalarprodukt. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt.[2]

Graßmann-Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren (auch doppeltes Vektorprodukt genannt[3], auf Englisch “vector triple product”[4]) gilt die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz, nach Hermann Graßmann). Diese lautet:

wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen. In der Physik wird oft die Schreibweise

verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt. In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität:

.

Hierbei ist das Levi-Civita-Symbol und das Kronecker-Delta.

Lagrange-Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt[2]

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus

also ist der Betrag des Kreuzproduktes

Da , der Winkel zwischen und , immer zwischen 0° und 180° liegt, ist

Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sonderfälle:

Kreuzproduktmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt definiert für einen festen Vektor eine lineare Abbildung, die einen Vektor auf den Vektor abbildet. Diese kann mit einem schiefsymmetrischen Tensor zweiter Stufe identifiziert werden. Bei Verwendung der Standardbasis entspricht die lineare Abbildung einer Matrixoperation. Die schiefsymmetrische Matrix

   mit   

leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit , d. h. :

.

Die Matrix heißt Kreuzproduktmatrix. Sie wird auch mit bezeichnet.

Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix gilt

,

wobei die Transponierte von ist, und man erhält den zugehörigen Vektor aus

.

Hat die Gestalt , so gilt für die zugehörige Kreuzproduktmatrix:

und für alle .

Hierbei bezeichnet „“ das dyadische Produkt.

Polare und axiale Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle physikalische Größen spielt die Unterscheidung in polare Vektoren (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektrische Feldstärke) und axiale Vektoren (die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Drehimpuls, magnetische Flussdichte) eine Rolle. Polaren Vektoren ordnet man die Signatur (oder Parität) +1 zu, axialen Vektoren die Signatur -1.

Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem polaren Vektor wechseln Vektoren ihre Signatur: Ist ein polarer Vektor, so ist ein axialer; ist ein axialer Vektor, so ist ein polarer. Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem axialen Vektor bleibt dagegen die Signatur erhalten.

Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spatprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Spatprodukt

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds) entspricht.

Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Rotation (Mathematik)

In der Vektoranalysis wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem Nabla-Operator verwendet, um den Differentialoperator Rotation zu bezeichnen. Ist ein Vektorfeld im , so ist

wieder ein Vektorfeld, die Rotation von .

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds berechnet. Die hierbei auftretenden Ausdrücke sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators auf die Funktion . Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator besondere Rechenregeln.

Kreuzprodukt im Rn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension auf den verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von Faktoren.

Das Kreuzprodukt der Vektoren ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor gilt

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im wie folgt berechnen. Es sei der zugehörige -te kanonische Einheitsvektor. Für Vektoren

gilt

analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor ist orthogonal zu . Die Orientierung ist so, dass die Vektoren in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Der Betrag von ist gleich dem -dimensionalen Volumen des von aufgespannten Parallelotops.

Für erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung

,

die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in dieser Reihenfolge – anders als aus dem gewöhnt – im Allgemeinen kein Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen Vektorräumen mit ungeradem , bei geraden bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die Basis in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis , die per Definition (siehe oben) ein Rechtssystem ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde. Diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die Graßmann-Algebren.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Kreuzprodukt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Kreuzprodukt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Max Päsler: Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter, 1977, ISBN 3-11-082794-8, S. 33.
  2. a b c d e Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (Grundstudium Mathematik), S. 312–313
  3. Doppeltes Vektorprodukt (Webseite von elearning.physik.uni-frankfurt.de, abgerufen am 5. Juni 2015)
  4. siehe z. B. The vector triple product (mit Herleitung) und den englischen Wikipedia-Artikel zum Kreuzprodukt