Verallgemeinertes Eigenwertproblem

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Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Problem, zu vorgegebenen Matrizen , gewisse Zahlen zu bestimmen, für welche

gilt, wird verallgemeinertes Eigenwertproblem genannt. Ist regulär, so lässt sich dieses Problem auf das gewöhnliche Eigenwertproblem mit

zurückführen. Dieser Lösungsansatz ist aber i. A. nur von theoretischer Bedeutung, da die Berechnung einer inversen Matrix numerisch oft nicht möglich oder sehr unpraktisch ist.

Lösungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oftmals lassen sich aus der Aufgabenstellung schon gewisse Informationen über die betrachteten Matrizen sammeln, welche die Berechnung dann vereinfachen können. Sind z. B. symmetrisch und außerdem positiv definit, so lässt sich die Berechnung wesentlich vereinfachen: Die Matrix lässt sich mittels der Cholesky-Zerlegung in zerlegen. Dann ist ähnlich zu einer Matrix . Die Inverse von lässt sich sehr effizient berechnen, da eine Dreiecksmatrix ist. Bestimmt man nun die Eigenwerte von , so sind dies auch die Eigenwerte von .

Für beliebige Matrizen kann auch der QZ-Algorithmus genutzt werden.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte das verallgemeinerte Eigenwertproblem

.

Naiver Ansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Berechnung der Inversen von ergibt

und damit

.

Die Eigenwerte dieser Matrix sind 20,7703 sowie -2 und - 0,7703.

Mittels der Cholesky-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sind symmetrisch und außerdem positiv definit. Die Cholesky-Zerlegung liefert die Matrix

.

Dann ist .

Die Eigenwerte dieser Matrix sind wie zu erwarten mit den oben berechneten Eigenwerten identisch.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]