Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

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Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.

Erweiterung auf größere Definitionsbereiche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erweiterung auf alle ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man

.

Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt gilt:

Definiert man , so folgt aus

,

und

mit vollständiger Induktion:

Erweiterung auf alle komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die geschlossene Form für die -te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben):

,

wobei der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt gilt die folgende Gleichung:

Ist eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:

Deshalb ist die stetige und analytische[1] Funktion

eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.

Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lucas-Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.

Folgen mit ähnlichem Bildungsgesetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgen in den komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Folge in , die für durch das rekursive Bildungsgesetz

definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man und setzt. Für das -te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck:

,

wobei die -te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang

und Induktionsschritt

Folgen von Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Vektorraum und sind , kann man eine Folge von Vektoren rekursiv definieren durch

.

Wie oben gilt dann die Formel

.

Vektorraum der Fibonacci-Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Gleichung

kann man die Menge der Folgen mit auch als einen unendlichdimensionalen -Vektorraum auffassen, für den und die Basis bilden.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harry J. Smith: What is a Fibonacci Number? In: geocities.com. 20. Oktober 2004, archiviert vom Original am 20091027103713, abgerufen am 13. Januar 2015 (englisch).