Verknüpfung (Mathematik)

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Illustration einer zweistelligen Verknüpfung , die aus den zwei Argumenten und das Ergebnis zurückgibt.

In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff gebraucht, um neben verschiedenen arithmetischen Rechenoperationen (wie Addition, Subtraktion usw.) auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u. a.) und weitere (gelegentlich auch logische) Operationen zu fassen. Eine Verknüpfung legt fest, wie mathematische Objekte gleicher oder ähnlicher Art miteinander ein weiteres Objekt bestimmen. Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknüpfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen, an denen Elemente als Operanden stehen können, ist diese Festlegung übersichtlich durch eine Verknüpfungstafel möglich, in der z. B. für eine 2-stellige Verknüpfung alle möglichen Paarungen aufgeführt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird, das Ergebnis des Rechnens.

Das Wort Verknüpfung wird auch verwendet, um die Hintereinanderausführung oder Verkettung von Funktionen zu bezeichnen.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl seien Mengen und eine weitere Menge gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts nach als -stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem -Tupel mit eindeutig ein Element der Menge zu. Selbstverständlich können die Mengen und teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur vorkommt, also wird die Verknüpfung

innere -stellige Verknüpfung oder -stellige Operation auf genannt. Kommt wenigstens ein Mal unter den vor, etwa

und

für ein mit so heißt die Verknüpfung äußere -stellige Verknüpfung auf mit Operatorenbereich . Die Elemente von heißen dann Operatoren.

Eine innere -stellige Verknüpfung auf kann man auch als äußere zweistellige Verknüpfung auf mit dem Operatorenbereich betrachten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch

definierte Abbildung von nach ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. innere dreistellige Verknüpfung auf .

Ist eine Abbildung von nach , so ist durch


(jedem aus der Abbildung und einem Element aus gebildeten Paar wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung zugeordnet)

eine äußere zweistellige Verknüpfung auf mit Operatorenbereich und dem einzigen Operator gegeben.

Jede -stellige Verknüpfung kann als -stellige Relation aufgefasst werden.

Nullstellige Verknüpfungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge nach einer Menge kann eine Abbildung von nach angesehen werden. Es gilt

daher lässt sich jede dieser Abbildungen wie folgt angeben:

für ein

Jede nullstellige Verknüpfung ist damit konstant und lässt sich wiederum als die Konstante auffassen.

Da stets gilt, kann jede nullstellige Verknüpfung als innere Verknüpfung auf betrachtet werden:

Einstellige Verknüpfungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Einstellige Verknüpfung

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge nach einer Menge .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gegeben sei eine Menge . Für jedes Element der Potenzmenge , also für jede Teilmenge von , sei definiert:
(Komplement von ).
ist eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:

  • die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem ihr Spatprodukt (aus ) zuordnet und
  • die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Verknüpfungen in der Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung – Lern- und Lehrmaterialien