Verteilungsfunktion (Stochastik)

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Dieser Artikel behandelt die Verteilungsfunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung; zur Verteilungsfunktion in der beschreibenden Statistik siehe Empirische Verteilungsfunktion, zum allgemeinen maßtheoretischen Begriff siehe Verteilungsfunktion (Maßtheorie).

Eine (kumulative) Verteilungsfunktion ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine reellwertige Funktion, mit der man die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariablen beschreiben kann. In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ soll der Verwechslung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion vorbeugen. Gelegentlich spricht man auch von wahrscheinlichkeitstheoretischen Verteilungsfunktionen oder Verteilungsfunktionen im engeren Sinne, um sie von den etwas allgemeineren maßtheoretischen Verteilungsfunktionen abzugrenzen.

Die Verteilungsfunktion ist eine der grundlegenden Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenngleich in neuerer Literatur der Fokus stärker auf Verteilungen selbst liegt.

Die Entsprechung der Verteilungsfunktion in der deskriptiven Statistik ist die empirische Verteilungs- oder Summenhäufigkeitsfunktion.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Dann heißt die Funktion

definiert durch

die Verteilungsfunktion von .

Ist eine reelle Zufallsvariable, so nennt man die Funktion

die Verteilungsfunktion von . Dabei bezeichnet , wenn auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist.

Somit ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable genau die Verteilungsfunktion ihrer Verteilung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeitsdichte , so gilt

.

Somit hat in diesem Fall die Verteilungsfunktion die Darstellung

.

Beispielsweise hat die Exponentialverteilung die Dichte

.

Ist also die Zufallsvariable exponentialverteilt, also , so ist

.

Dieses Vorgehen ist jedoch nicht allgemein gangbar. Erstens besitzen nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen eine Dichtefunktion (Beispielsweise diskrete Verteilungen, aufgefasst als Verteilungen in ), zweitens muss selbst bei der Existenz einer Dichtefunktion nicht notwendigerweise eine Stammfunktion mit geschlossener Darstellung existieren (wie Beispielsweise bei der Normalverteilung).

Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man zu einem Parameter eine Bernoulli-Verteilte Zufallsvariable , so ist

und für die Verteilungsfunktion folgt dann

Ist allgemeiner eine Zufallsvariable mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahl , dann gilt

.

Dabei bezeichnet die Abrundungsfunktion, das heißt ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Eigenschaften und Zusammenhang zur Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.

Jede Verteilungsfunktion hat folgende Eigenschaften:

  1. ist monoton steigend.
  2. ist rechtsseitig stetig.
  3. und .

Darüber hinaus ist jede Funktion , die die Eigenschaften 1-3 erfüllt, eine Verteilungsfunktion. Folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. So gibt es zu jeder Verteilungsfunktion genau solch eine Verteilung , dass für alle gilt:

Umgekehrt gibt es zu jeder Verteilung eine Verteilungsfunktion derart, dass für alle gilt:

Daraus folgt die Korrespondenz von und . Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch Korrespondenzsatz genannt.[1]

Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.

Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle :

Deswegen ist genau dann stetig, wenn für alle gilt.

Rechnen mit Verteilungsfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist von einer Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt:

Beispiel

Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 2 (exklusive) und einschließlich 5 zu würfeln, zu

.

Überlebenswahrscheinlichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beschreibt die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Defektes in einem System zum Zeitpunkt , dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für das einwandfreie Funktionieren (Überleben) über hinaus

wobei den Zeitpunkt des Defektes (oder Todes) bezeichnet.

Bezieht man sich nicht auf den Zeitpunkt , sondern auf einen späteren Zeitpunkt , dann erhält man die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

.

Mit der Beziehung für die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich sofort eine Beziehung für die Restlebensdauer

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge von Verteilungsfunktionen heißt schwach konvergent gegen die Verteilungsfunktion , wenn

gilt für alle , an denen stetig ist. Für Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen finden sich auch die Bezeichnungen konvergent in Verteilung oder stochastisch konvergent.[2] Für Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie ist die oben angegebene Definition nicht korrekt, sondern entspricht der vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen. Diese fällt aber im Falle von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen zusammen. Die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen wird von dem Lévy-Abstand metrisiert

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über die schwache Konvergenz der Verteilungsfunktionen lässt sich mit dem Satz von Helly-Bray eine Brücke zur schwachen Konvergenz von Maßen schlagen. Denn eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist genau dann schwach konvergent, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Analog ist eine Folge von Zufallsvariablen genau denn Konvergent in Verteilung, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert.

Manche Autoren nutzen diese Äquivalenz zur Definition der Konvergenz in Verteilung, da sie leichter zugänglich ist als die schwache Konvergenz der Wahrscheinlichkeitsmaße. Teilweise findet sich diese Äquivalenz auch im Portmanteau-Theorem.

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternative Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Einflussbereich der Tradition Kolmogorows, namentlich der mathematischen Literatur des ehem. „Ostblocks“, findet sich parallel zur heute vorherrschenden „Kleiner-gleich“-Konvention der Verteilungsfunktion bis in die jüngere Vergangenheit eine weitere, die statt des Kleiner-gleich-Zeichens das Echt-kleiner-Zeichen verwendet,[3][4] also

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen praktisch überein, bei diskreten Verteilungen dagegen unterscheiden sie sich darin, dass die Verteilungsfunktion im Fall der „Echt-kleiner“-Konvention an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist.

So ergibt sich beispielsweise für die Binomialverteilung bei der heute üblichen „Kleiner-gleich“-Konvention eine Verteilungsfunktion der Form

,

bei der „Echt-kleiner“-Konvention dagegen die Schreibweise

beziehungsweise [5]

.

Im Prinzip sind dabei beide Konventionen, solange man sich konsequent auf dem Boden nur der einen oder anderen bewegt, gleichwertig - Vorsicht dagegen ist dann geboten, wenn mit verschiedenen Quellen gearbeitet wird, weil sich Formeln der einen Konvention vielfach nicht ohne weiteres in die andere übernehmen lassen.

Verwandte Konzepte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Empirische Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Formal entspricht sie der Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung auf den Punkten . Ihre Bedeutung hat sie daher, dass nach dem Satz von Gliwenko-Cantelli die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe von Zufallszahlen gegen die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergiert, mittels der die Zufallszahlen erzeugt wurden.

Gemeinsame Verteilungsfunktion und Rand-Verteilungsfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gemeinsame Verteilungsfunktion verallgemeinert das Konzept einer Verteilungsfunktion von der Verteilung einer Zufallsvariablen auf die Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen. Ebenso lässt sich das Konzept von der Randverteilung zur Rand-Verteilungsfunktion übertragen. Diese Verteilungsfunktionen haben gemeinsam, dass ihr Definitionsbereich der ist für

Verallgemeinerte Inverse Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion bildet unter Umständen eine Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion und ist wichtig zur Bestimmung von Quantilen.

Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktionen können nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige endliche Maße auf den reellen Zahlen. In diesen Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie) spiegeln sich dann wichtige Eigenschaften der Maße wider. Sie bilden eine Verallgemeinerung der hier besprochenen Verteilungsfunktionen.

Mehrdimensionale Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mehrdimensionale Verteilungsfunktion ist eine Verteilungsfunktion, die (Wahrscheinlichkeits)maßen auf zugewiesen wird.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Schmitz, N. Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie, Teubner, 1996
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 287.
  3. Alexandr Alexejewitsch Borowkow: Rachunek prawdopodobieństwa. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, Seite 36ff.
  4. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, Seite 51.
  5. [Hrsg.] W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, Seite 659-660.