Vierervektor

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Ein Vierervektor, ein Begriff der Relativitätstheorie, ist ein Vektor in einem reellen, vierdimensionalen Raum mit einem indefiniten Längenquadrat. Beispielsweise sind die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit die Komponenten eines Vierervektors, ebenso die Energie und der Impuls eines Teilchens.

In zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen lassen sich die Komponenten der beiden Vierervektoren durch eine Lorentz-Transformation ineinander überführen.

Schreibweise[Bearbeiten]

Man verwendet die Abkürzungen

  • a^\mu = (a^0,   a^1,   a^2,   a^3) für die kontravariante
  • a_\mu = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a^0,-a^1,-a^2,-a^3) für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. (Details zu kontra- und kovarianten Vektoren s. letztes Kapitel dieses Artikels.)

Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen. Dabei werden in der Relativitätstheorie bevorzugt die Buchstaben \mu,\nu geschrieben.

Ortsvektor[Bearbeiten]

Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten \mathbf x = (x,y,z) eines Ereignisses. Die Zeitkoordinate wird in der Relativitätstheorie mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert, so dass sie wie die Raumkoordinaten die Dimension einer Länge hat.

Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist

x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf x).

Dass x^\mu ein kontravarianter Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowski-Raums ist und sich dementsprechend bei Basiswechsel kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation ändert.

In der Metrik der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte Vorzeichen der drei Raumkoordinaten:

\mathrm d s^2 = c^2 \mathrm d t^2 - \mathrm d x^2 - \mathrm d y^2 - \mathrm d z^2

Die Metrik hat also die Signatur (+ − − −) oder (− + + +). Insbesondere in Texten zur speziellen Relativitätstheorie wird überwiegend die erste Signatur verwendet, dies ist aber nur eine Konvention und variiert je nach Autor. Bei besonderen Prozessen, wie etwa dem Eintritt in ein schwarzes Loch, wechseln die Vorzeichen in der Metrik, die das schwarze Loch beschreibt (z. B. die Schwarzschildmetrik) – Raum und Zeit vertauschen ihre Bedeutung.

Abgeleitete Vierervektoren[Bearbeiten]

Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.

Vierergeschwindigkeit[Bearbeiten]

Der Vierervektor v^\mu der Geschwindigkeit ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors x^\mu nach der Eigenzeit d\tau:

v^\mu = \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}

mit

\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \, \mathrm d t

Daraus folgt für die Vierergeschwindigkeit:

v^\mu = \gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(ct,x,y,z) = \gamma(c,\dot x,\dot y,\dot z) = \gamma(c,\mathbf v)

Interpretation[Bearbeiten]

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

|(v\,^\mu)| = \sqrt{v^\mu v^\nu\eta_{\mu\nu}} = \sqrt{v_\mu v^\mu}= \sqrt{\gamma^2 (c^2-v^2)} = c .

Anders ausgedrückt bewegt sich jeder Gegenstand stets mit Lichtgeschwindigkeit durch die vier Dimensionen der Raumzeit. Dieses Ergebnis erklärt die Zeitdilatation folgendermaßen: Befindet sich ein Gegenstand von einem Bezugssystem aus betrachtet in Ruhe, so bewegt er sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Zeitdimension. Wird dieser Gegenstand hingegen im Raum beschleunigt, so muss seine Bewegung in Richtung der Zeit abbremsen (Zeitfluss verlangsamt sich), damit die Norm der Vierergeschwindigkeit konstant bleibt. Da sich aber der Zeitfluss verlangsamt, erscheint die Geschwindigkeit im Vierervektor erhöht.

Photonen und andere masselose Teilchen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum und ruhen dafür in der Zeit (Vierergeschwindigkeit nicht definiert). Würde sich ein Gegenstand überlichtschnell durch den Raum bewegen (Tachyonen), so müsste er in der Zeit eine imaginäre Geschwindigkeit besitzen, um den Überschuss „auszugleichen“.

Viererimpuls[Bearbeiten]

Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert als

p^\mu = m v^\mu = (\gamma m c, \gamma m \mathbf v)

wobei m die (Ruhe-)Masse des Körpers ist. Im Vergleich mit der Newton'schen Mechanik wird die Kombination \gamma m zuweilen als "dynamisch zunehmende Masse" interpretiert, was allerdings leicht zu falschen Schlussfolgerungen durch eine hier unangemessene klassische Betrachtungsweise führen kann. Im konsequenten Viererkalkül ohne Bezug auf die nicht-relativistische Physik ist nur die koordinatenunabhängige Ruhemasse m von praktischer Bedeutung.

Mit der Äquivalenz von Masse und Energie E = \gamma m c^2 kann der Viererimpuls geschrieben werden als

p^\mu = \left( E/c, \mathbf p \right)

mit dem relativistischen Impuls \mathbf p = \gamma m \mathbf v, der sich vom klassischen Impulsvektor um den Lorentzfaktor \gamma unterscheidet.

Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.

Aus der Quadratur der Viererimpulse p_\mu p^\mu ergibt sich die Energie-Impuls-Beziehung

E^2 - \mathbf p^2 \, c^2 = m^2 \, c^4

aus der eine zeit- und ortsunabhängige Hamilton-Funktion für freie, relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.

Viererbeschleunigung[Bearbeiten]

Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit v^\mu = \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau} nach \tau erhält man die Viererbeschleunigung.

Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu

\frac{\mathrm d v^0}{\mathrm d \tau} = c \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau} \gamma = c \ \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \gamma = c \gamma \cdot \frac{\gamma^3}{c^2} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \frac{\gamma^4}{c} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).

Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten

\frac{\mathrm d v^j}{\mathrm d \tau} = \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma \mathbf v\right) = \gamma  \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma \mathbf v\right) = \frac{\gamma^4}{c^2} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) \cdot \mathbf v + \gamma^2 \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}.

Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis

\frac{\mathrm d v^\mu}{\mathrm d \tau} = \frac{\gamma^4}{c^2} \ \mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \ (c, \mathbf v) + \gamma^2 \left(0, \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).

Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor \frac{\gamma^4}{c^2} und einem Teil mit \gamma^2. Man erhält also für parallele und lotrechte Beschleunigung unterschiedliche Viererbeschleunigungen. Mit der Graßmann-Identität

\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) - \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \ \left(\mathbf v \cdot \mathbf v\right)

kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man beobachtet, dass

\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right) = \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \left[1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}\right] + \frac{1}{c^2} \ \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \frac{1}{\gamma^2} \ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \ \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)

ist. Es folgt

\frac{\mathrm d v^j}{\mathrm d \tau} = \gamma^4 \left(\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right).

und somit insgesamt

\frac{\mathrm d v^\mu}{\mathrm d t} = \gamma^4 \left(\frac{1}{c} \mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}; \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right)

Viererkraft und Bewegungsgleichung[Bearbeiten]

Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowskikraft genannt, analog zur entsprechenden newtonschen Kraft definiert werden:

K^\mu = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t}

Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft \mathbf{F} in Beziehung gesetzt werden: In dem Inertialsystem, in dem die Masse annähernd ruht (sie ruhe zum Zeitpunkt t = 0, dann gilt für genügend kleines t wegen der beschränkten Beschleunigung:v \ll c), muss die klassische Newtonsche Gleichung gelten:

\begin{pmatrix}
  0 \\
  \mathbf F
\end{pmatrix} = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = \frac{1}{\gamma}\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} \Rightarrow \mathbf F = \frac{1}{\gamma} K^i \Leftrightarrow K^i= \gamma \, \mathbf F

mit dem räumlichen Teil K^i = (K^1, K^2, K^3) der Viererkraft.

In einem beliebigen Inertialsystem gilt

\begin{pmatrix}
  K^0 \\
  K^1 \\
  K^2 \\
  K^3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\
  \mathbf F_{\perp \mathbf u} + \gamma \mathbf F_{\| \mathbf u}
\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}
  \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\
  \left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u}
\end{pmatrix},

wobei \mathbf u = \gamma \mathbf v der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der Minkowski-Kraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit \gamma multipliziert ist.

Die durch die Beschleunigung mit K^\mu übertragene Leistung ist c K^0.

In dem Spezialfall, dass eine Newton'sche Kraft \mathbf F allein parallel zur Geschwindigkeit wirkt, folgt aus der Bewegungsgleichung für Vierervektoren der Zusammenhang zwischen Newton'scher Kraft und räumlicher Beschleunigung:

\mathbf F = \gamma^3 m\mathbf a

Für räumliche Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung folgt hingegen

\mathbf F = \gamma m\mathbf a.

Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen" relativistischen Masse für den Term \gamma m ist daher im Vergleich mit der Newton'schen Bewegungsgleichung missverständlich. Denn für beliebige Raumrichtungen ist der Zusammenhang zwischen den räumlichen Größen \mathbf F und \mathbf a zwar linear, aber keine einfache Proportionalität.

Ko- und kontravariante Vektoren[Bearbeiten]

Die Komponenten eines kontravarianten Vierervektors a gehen bei Lorentztransformationen \Lambda über in:

a^\prime = \Lambda \, a

Man schreibt seine Komponenten mit oben stehenden Zahlen: a = (a^0, a^1, a^2, a^3)

Die Komponenten eines kovarianten Vierervektors folgen dem kontragredienten (entgegengesetzten) Transformationsgesetz:

b^\prime = \Lambda^{-1 \, \text{T}} \, b

Man schreibt seine Komponenten mit unten stehenden Zahlen: b = (b_0, b_1, b_2, b_3)

Die beiden Transformationsgesetze sind nicht gleich, aber äquivalent, denn definitionsgemäß erfüllen sie:

\Lambda^{-1 \, \text{T}} = \eta \, \Lambda \, \eta^{-1}

mit der üblichen Minkowski-Metrik der SRT:

\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)

Daher ergibt

\eta \, a = (a^{0}, -a^{1}, -a^{2}, -a^{3}) = (a_0, a_1, a_2, a_3)

die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor a zugeordnet ist.

Beispielsweise sind die partiellen Ableitungen einer Funktion f(x) die Komponenten eines kovarianten Vektors.

Lorentztransformationen bilden x ab auf:

x^\prime = \Lambda \, x

und definieren die transformierte Funktion f^\prime = f\circ \Lambda^{-1} durch die Forderung, dass sie am transformierten Ort denselben Wert habe, wie die ursprüngliche Funktion am ursprünglichen Ort:

f^\prime(x^\prime) = f(x)

mit

f^\prime(x) = f(\Lambda^{-1} \, x)

Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient:

\frac{\partial f^\prime}{\partial x^m}(x) =  
\frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^n}{\partial x^m}\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} =
\Lambda^{-1\,n}{}_m\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} =
\Lambda^{-1 \,\text{T}}{}_m{}^n\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]