Vierzigeck

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Regelmäßiges Vierzigeck

Ein Vierzigeck oder Tetrakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch vierzig Punkte und deren vierzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Variationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vierzigecke können eingeteilt werden in:

  • überschlagenes Vierzigeck
  • nicht überschlagenes Vierzigeck
  • konkaves Vierzigeck; mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°
  • konvexes Vierzigeck; alle Innenwinkel sind kleiner als 180°
  • gleichseitiges Vierzigeck; alle Seiten sind gleich lang
  • nach der Anzahl an Symmetrieachsen; es können maximal 40 sein
  • Sehnen-Vierzigeck; alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis
  • regelmäßiges Vierzigeck; alle Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel sind gleich groß und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis
  • regelmäßiges überschlagenes Vierzigeck; beschrieben in Regelmäßiges überschlagenes Vierzigeck

Im Folgenden wird das regelmäßige Vierzigeck betrachtet.

Regelmäßiges Vierzigeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das regelmäßige Vierzigeck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.

Größen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Vierzigecks
Innenwinkel

01-Vierzigeck-Größen.svg

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Mathematische Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Innenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Die Summe der Innenwinkel beträgt .

Zentriwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Seitenlänge und Umkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Vierzigeck ist in vierzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) , der Hypotenuse (Umkreisradius) und dem halben Zentriwinkel erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge wie folgt

durch Umformen erhält man den Umkreisradius

Inkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Inkreisradius ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge des Vierzigecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius

Höhe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Höhe eines regelmäßigen Vierzigecks ergibt sich aus der Verdopplung des Inkreisradius .

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks berechnet sich aus dem Umkreisradius nach der Formel:

.

Für das Vierzigeck (n=40) also:

.

Der Winkel von 9° ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar und sein Sinus hat den Wert:

Eingesetzt ergibt sich:

Diagonalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Vierzigeck besitzt Diagonalen. Die Diagonalen haben 19 verschiedene Längen.

Länge L der Seite und der Diagonale über
N Seiten im Verhältnis zum Umkreisradius R
N L / R
11) 0,156918
2 0,312869
3 0,466891
4 0,618034
N L / R
5 0,765367
6 0,907981
7 1,044997
8 1,175571
N L / R
9 1,298896
10 1,414214
11 1,520812
12 1,618034
N L / R
13 1,705280
14 1,782013
15 1,847759
16 1,902113
N L / R
17 1,944740
18 1,975377
19 1,993835
20 2,000000
1) Seite des Vierzigecks.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiges Vierzigeck kann allein, wie in Regelmäßiges Vierzigeck begründet, mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 1: Regelmäßiges Vierzigeck bei gegebenem Umkreis

Die Konstruktion im Bild 1 ist ähnlich der des Fünfecks bei gegebenem Umkreis. Darin ist die Strecke die Seitenlänge und der Winkel der Zentriwinkel des regelmäßigen Fünfecks.

Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers und dessen Halbierung im Mittelpunkt Nach dem Ziehen des Umkreises um durch wird die vertikale Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind und der erste Eckpunkt des entstehenden Vierzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke in , dabei ergeben sich die Schnittpunkte und auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um mit dem Radius ab gezogen bis er die Strecke in schneidet. Der Punkt teilt somit die Strecke im Verhältnis des goldenen Schnitts. Es ist das Ergebnis aus der Teilung der Strecke in im goldenen Schnitt durch äußere Teilung. Nach dem Übertragen der Strecke – die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks – ab auf den Umkreis, ergibt sich der Eckpunkt Halbiert man nun den Winkel ergibt sich der Eckpunkt . Die Verbindung des Eckpunktes mit erzeugt die erste Seitenlänge des Vierzigecks. Jetzt noch die fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Somit ist das regelmäßige Vierzigeck konstruiert.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 2: Regelmäßiges Vierzigeck bei gegebener Seitenlänge

F. A. Hegenberg stellt im Jahr 1822 in seinem Werk Vollständiges Lehrbuch der reinen Elementar–Mathematik, Zweiter Theil, im Kapitel Konstruktionen der Linien und ebenen Figuren, Aufgaben und deren Auflösungen u. a. auch zum Vierzigeck.

Unter § 776 stellt er die Aufgabe zu einem Polygon mit Seiten :

„Es ist die Seite AB (Fig.405. [nicht einsehbar] ) eines regulären Polygons von n Seiten gegeben; man soll das Polygon konstruiren.“

und zeigt dazu im darauffolgenden zweiten Absatz deren Auflösung:

„Soll daher ein reguläres Polygon konstruirt werden, dessen Seite gegeben ist, so braucht man nur über die gegebene Seite ein gleichschenkelichtes Dreieck zu verzeichnen, in welchem der Winkel an der Grundlinie dem halben Winkel am Umfange des verlangten Polygons gleich ist.“[1]

Die Konstruktion im Bild 2 gleicht der des Zwanzigecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (rechts) und bezeichnet, anschließend wird die Seitenlänge über hinaus verlängert. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius um die Punkte und ; deren Schnittpunkte sind und Anschließend wird eine Halbgerade ab durch gezogen; sie halbiert die Seitenlänge in Eine Senkrechte auf ab schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt Danach wird ein Kreisbogen um mit dem Radius gezogen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt auf der Verlängerung. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die senkrechte Halbgerade in schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck entspricht der Winkel am Winkelscheitel dem Zentriwinkel (hier mit bezeichnet) eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge gilt im rechtwinkligen Dreieck

mit eingesetzten Werten

daraus folgt für Winkel

somit ist der Winkel und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius ; er schneidet in die Halbgerade, die ab durch verläuft. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz die Winkelweite am Winkelscheitel des gleichschenkligen Dreiecks halb so groß als die Winkelweite am Winkelscheitel des gleichschenkligen Dreiecks Ein weiterer Kreisbogen, dieses Mal um den Punkt mit dem Radius , der dieselbe Halbgerade in schneidet, erzeugt demzufolge am Winkelscheitel den Zentriwinkel des Vierzigecks.

Jetzt noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die noch fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Somit ist das regelmäßige Vierzigeck konstruiert.

Regelmäßiges überschlagenes Vierzigeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der vierzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur sieben regelmäßige Vierzigstrahlsterne.

Die Sterne mit den Symbolen {40/2} und {40/38} sind regelmäßige Zwanzigecke, {40/4} und {40/36} regelmäßige Zehnecke, {40/5} und {40/35} regelmäßige Achtecke, {40/6} und {40/34} regelmäßige Zwanzigstrahlsterne, {40/8} und {40/32} regelmäßige Fünfecke, {40/10} und {40/30} regelmäßige Vierecke, {40/12} und {40/28} regelmäßige Zehnstrahlsterne, {40/14} und {40/26} regelmäßige Zwanzigstrahlsterne, {40/15} und {40/25} regelmäßige Achtstrahlsterne, {40/16} und {40/24} regelmäßige Pentagramme und schließlich {40/18} und {40/22} regelmäßige Zwanzigstrahlsterne.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. F. A. Hegenberg: Vollständiges Lehrbuch der reinen Elementar–Mathematik, Zweiter Theil. Theodor Christian Friedrich Enslin, 1822, Online-Kopie (Google) S. 381, § 776, Deckblatt; abgerufen am 20. April 2018