Virasoro-Algebra

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In der Mathematik ist die Virasoro-Algebra eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Dort wird sie als Algebra über den komplexen Zahlen behandelt, was sich aber auch für beliebige Körper der Charakteristik 0 durchführen lässt. Sie wurde 1970 von Miguel Virasoro im Rahmen der Stringtheorie eingeführt, sie spielt aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der Monstergruppe.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgangspunkt ist die Witt-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 (zum Beispiel ), die von Elementen mit den Kommutatorrelationen erzeugt werde. Eine Virasoro-Algebra ist definiert als zentrale Erweiterung dieser Witt-Algebra. Das heißt, es gibt eine kurze exakte Sequenz von Lie-Algebren

.

ist ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in enthalten denken kann. Dabei soll im Zentrum von liegen, man bezeichnet auch manchmal als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra. Die Virasoro-Algebra wird dann von und Elementen , die Urbilder der sind, erzeugt. Für die Kommutatorrelationen hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine häufige Wahl ist

  • für alle , denn ist im Zentrum von ,
  • für alle .

Dabei steht für das Kronecker-Delta. Man nennt den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als mit wählen. Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass für verschwindet und daher in obiger Sequenz isomorph auf abgebildet wird, wobei letzteres eine zur sl(2,K) isomorphe Lie-Algebra ist. Der Faktor erklärt sich dadurch, dass es bestimmte Darstellungen der Virasoro-Algebra gibt, bei denen dieser Faktor dann verschwindet; das ist lediglich eine bequeme Konvention.

Eine alternative Konvention[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine alternative Wahl der Kommutatorrelationen erhält man, wenn man von zu übergeht. Eine kurze Rechnung zeigt

  • ,

das heißt, man kann den linearen Term des zentralen Anteils der Kommutatorrelationen zum Verschwinden bringen.

Äquivalenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra und heißen äquivalent, wenn es einen Lie-Algebren-Isomorphismus gibt mit und gibt.

Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung gibt, die nicht äquivalent zu einer semidirekten Summe ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5