Virialsatz

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Der Virialsatz (lateinisch vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie  \overline{T} und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie  \overline{ U } eines abgeschlossenen stationären physikalischen Systems. Er wurde 1870 von Rudolf Clausius aufgestellt in dem Werk Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.

Skalare Formulierung[Bearbeiten]

Das Virial V eines Systems aus N Teilchen ist die Summe der Skalarprodukte aus den Zeitableitungen der Impulse  \dot {\vec{p_i}} und den Orten  \vec{r_i} dieser Teilchen, d.h.

 V = \sum_{i=1}^N  \dot {\vec{p_i}} \cdot \vec{r_i}\,.

Ist das Virial beschränkt, so gilt:

\overline T = -\frac 12 \sum_{i=1}^N \overline{\vec {F_i} \cdot \vec {r_i}}\,.

Dabei ist \vec {F_i} die Resultierende der auf das i-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren keine äußeren Kräfte.

Ist die Kraft konservativ und besitzt ein Potential U, das homogen vom Grad k ist, d.h. für α > 0 gilt U(\alpha \vec {r_i}) = \alpha^k \cdot U(\vec {r_i}), so vereinfacht sich die obige Form zu

 \overline T = \frac k2 \, \overline U.

Befindet sich ein Vielteilchensystem im Gleichgewicht, so kann das System als ergodisch betrachtet werden, d.h. das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl N der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme:

 T = \frac k2\,U

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant.

Vorzeichen[Bearbeiten]

Energieerwartungswerte als Funktion des Grades s der homogenen Potentialfunktion
oder die Vorzeichen der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie,
bei auf 1 normierter Gesamtenergie

Der Virialsatz in der allgemeinen Form für eine homogene Potentialfunktion vom Grad s

 \langle E_\mathrm{kin} \rangle = \frac {s} {2} \; \langle U_\mathrm{pot} \rangle  = \frac {s} {s+2} \; E [1]

gibt eindeutige Auskunft über die Vorzeichen der beteiligten Energiegrößen.

Für den bekanntesten Fall  s = -1 (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

 \langle E_\mathrm{kin} \rangle = - \; \frac {1} {2} \; \langle U_\mathrm{pot} \rangle  = - \; E.

Die Vorzeichen sind im Einzelnen (vgl. Abb.):


  • \langle U_\mathrm{pot}\rangle < \; 0 für  s \; < \; 0.
  • \langle U_\mathrm{pot}\rangle > \; 0 für  s \; > \; 0.


  • E > 0 für  s < -2 und für  s > 0.
  • E < 0 für -2 < s < 0.

[2]

Diskussion[Bearbeiten]

Ein stationäres System von Punktteilchen muss für s = –1 nach dem Virialsatz die Hälfte der potentiellen Energie abgeben, wenn es in ein räumlich engeres überführt wird. Andererseits muss nur die Hälfte der Hubarbeit (das entspricht der Gesamtenergie) zugeführt werden, wenn es in ein räumlich ausgedehnteres überführt wird und dort wieder stationär sein soll. Für andere s gelten natürlich andere Verhältnisse, wie man leicht nachrechnet.

Für –2 > s > 0 gelten coulombähnliche Verhältnisse, s > –2 ergibt metastabile Systeme mit nur speziellen stabilen Lösungen. Für 0 < s kann es wieder stabile Systeme geben, so liegt zum Beispiel für s = 2 das lineare Kraftgesetz vor.

s = 0 hat keine zugehörige Potentialfunktion. Mit s = –2 verschwinden die Energiedifferenz und die Energie selbst, Punkte dieses Systems können sich beliebig weit voneinander entfernen.[2]:37f

Anwendungsbeispiel: Massenbestimmung astronomischer Haufen[Bearbeiten]

Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der Astrophysik und der Himmelsmechanik. Dort benutzt man das Newton'sche Gravitationspotential, das homogen vom Grad -1 ist. Dann gilt

2 T = - U.

Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten, Winkelabstände und scheinbare Helligkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen bei einer Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:

Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist gegeben durch

 T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \| \vec{v}_i\|^2.

Weder die Einzelmassen mi noch die Geschwindigkeitsbeträge |vi| sind jedoch Beobachtungsgrößen.

Die Einführung der Gesamtmasse  M = \sum m_i erlaubt die Umformung

 T=\frac{M}{2}\sum_i \frac{m_i}{M} \|\vec{v}_i\|^2.

Nun trifft man zwei Annahmen:

a) Die Einzelmassen mi sind proportional zu den Einzelleuchtkräften li und daher gilt

 T=\frac{M}{2}\sum_i \frac{l_i}{L} \|\vec{v}_i\|^2=\frac{M}{2}\langle \| \vec{v}\|^2 \rangle_L,

wobei der letzte Term das Leuchtkraft-gewichtete Mittel über die Geschwindigkeiten bezeichnet.

b) Das System ist sphärisch symmetrisch und befindet sich im Gleichgewicht (man sagt auch es ist virialisiert). Daher sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt (Gleichverteilungssatz). Dann gilt

\langle \| \vec{v}\|^2 \rangle_L=3 \langle v_{R}^2 \rangle_L,

wobei vR die radialen Pekuliargeschwindigkeiten bezeichnet, d.h. die Abweichungen der Radialgeschwindigkeit vom Haufenmittelwert.

Damit erhält man:

 T=\frac{3 M}{2}\langle v_{R}^2 \rangle_L.

Andererseits gilt für die potentielle Gesamtenergie unter der Bedingung der sphärischen Symmetrie

U= - \frac{G M^2}{\alpha R}

mit

  • der Gravitationskonstanten G
  • dem Gesamtradius R des Systems
  • dem morphologischen Faktor α, der von der radialen Verteilungsfunktion, also der Geometrie des Haufens, abhängt; für eine (allerdings unrealistische) Gleichverteilung innerhalb des Radius R ist beispielsweise α = 5/3. Im Allgemeinen ist der Faktor aus den beobachteten Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.

Durch Anwendung des Virialsatzes für die Gravitation erhalten wir die Gesamtmasse des Haufens als

M = \frac{3 \alpha R}{G}\langle v_{R}^2 \rangle_L.

Verallgemeinerung auf Tensoren[Bearbeiten]

Im Rahmen der Kontinuumsmechanik wird der tensorielle Virialsatz aus der stoßfreien Boltzmann-Gleichung und dem daraus abgeleiteten Jeans-Kriterium bewiesen. Wenn als Wechselwirkung wiederum die Gravitation angenommen wird, hat der Satz die Form:

 \frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2} I_{ij} = 2 T_{ij}+\Pi_{ij}+U_{ij}

mit

Im statischen Fall fällt die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung weg, und da der Spannungstensor spurfrei ist, ergibt die Spur der Gleichung wieder den skalaren Virialsatz.

Für die Quantenmechanik behält der Virialsatz seine Gültigkeit, wie von Fock gezeigt wurde.[3]

Literatur[Bearbeiten]

Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.
Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Die spitzen Klammern stehen für gemittelte Werte für ein stationäres System von Punktteilchen, welche sich in dynamischem Gleichgewicht bewegen.
  2. a b Heinrich Wulff, Physik unter Verwendung des Virialsatzes, Grafik & Typographie, 1998 ISBN 3-9804816-0-3
  3. V. Fock: Bemerkung zum Virialsatz. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 63, Nr. 11, 1930, S. 855-858. doi:10.1007/BF01339281.