Vis-Viva-Gleichung

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Die himmelsmechanische Vis-Viva-Gleichung liefert die lokale Geschwindigkeit von Körpern auf Keplerbahnen um einen dominierenden Himmelskörper. Unter diesen Bedingungen ist die Summe aus der geschwindigkeitsabhängigen kinetischen Energie – das ist die Hälfte der historischen Vis viva – und der entfernungsabhängigen Energie im Gravitationsfeld zeitlich konstant (Energieerhaltungssatz). Bei gegebenem Gravitationsparameter ergeben verschiedene Werte dieser Summe verschiedene Bahnformen. Von den Bahnparametern geht lediglich die große Halbachse in die Gleichung ein.

Vis-Viva-Gleichung[Bearbeiten]

Die Vis-Viva-Gleichung für die Momentangeschwindigkeit eines Körpers, der sich auf einer elliptischen (der Kreis sei hier als ein Spezialfall der Ellipse miteinbegriffen), parabolischen oder hyperbolischen Umlaufbahn um ein Zentralgestirn befindet, lautet:

(1)   v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)

Dabei ist r der Abstand des Körpers vom Gravitationszentrum, v^2 das Quadrat seiner Geschwindigkeit, a die große Halbachse des Kegelschnittumlaufs (\ a=r für einen Kreis, r_P<a<r_A für eine Ellipse, a=\infty für eine Parabel und a<0 für eine Hyperbel) und \mu der Standardgravitationsparameter mit G als Gravitationskonstante und M als Masse des Zentralkörpers:

\mu = GM

Zieht man die Quadratwurzel aus obigem Ausdruck für \ v^2, ergibt sich als Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers:

v=\sqrt { \mu \left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) }

Für eine Kreisbahn erhält man durch Einsetzen von \ a=r die folgende vereinfachte Beziehung, die man auch durch Gleichsetzen der Gravitations- und Zentripetalkraft erhalten kann:

v_1 = \sqrt{\frac{ \mu }{r}}

Diese besondere Geschwindigkeit nennt man auch minimale Kreisbahngeschwindigkeit oder erste kosmische Geschwindigkeit: Bewegt sich ein umlaufender Körper mit dieser Geschwindigkeit um den Zentralkörper, so ist seine Umlaufbahn ein Kreis. Wird die Umlaufgeschwindigkeit dagegen (bei konstantem Abstand r) kleiner oder größer als v_1, entsteht als Umlaufbahn eine Ellipse.

Wird deren große Halbachse unendlich groß, entsteht als „entartete“ Ellipse mit zweitem Brennpunkt im Unendlichen eine Parabel. Für solche Parabelbahnen erhält man dementsprechend durch Einsetzen von a=\infty als vereinfachte Form die Gleichung:

v_2=\sqrt {\frac {2 \mu}{r}} = v_1 \cdot \sqrt 2

Diese besondere Geschwindigkeit nennt man auch Fluchtgeschwindigkeit oder zweite kosmische Geschwindigkeit: Bewegt sich ein umlaufender Körper mit dieser oder einer höheren Geschwindigkeit, kann er damit die gravitative Bindung an den Zentralkörper überwinden und seine Umlaufbahn ist dann nicht mehr geschlossen, sondern offen. Ist die Umlaufgeschwindigkeit des Körpers dabei genau gleich v_2, ist die Umlaufbahn eine Parabel, bei größeren Umlaufgeschwindigkeiten dagegen (bei ansonsten gleichbleibendem Abstand r) eine Hyperbel.

Ist die Masse m des umlaufenden Körpers im Verhältnis zu der Masse M des Zentralkörpers nicht vernachlässigbar, so kann man nicht mehr davon ausgehen, dass das Gravitationszentrum (Baryzentrum) des Systems in der Mitte des Zentralkörpers liegt. Die Masse des Umlaufenden Körpers (der damit eben kein „Probekörper“ mehr ist) muss dann berücksichtigt werden, wodurch sich die Vis-Viva-Gleichung folgendermaßen ändert:

(2)   v^2 = G(M\!+\!m) \left({{ 2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)

Die damit beschriebene Umlaufgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der jeweilige Körper auf seiner Umlaufbahn für einen außenstehenden Beobachter bzw. im Bezug auf einen gegebenen Fixpunkt (beispielsweise dem Baryzentrum) bewegt.

Die relative Geschwindigkeit der beiden Körper im Bezug zueinander ist dann die Umlaufgeschwindigkeit des entsprechenden Probekörpers um den Zentralkörper, die mit der herkömmlichen Vis-Viva-Gleichung (1) beschrieben wird.

Herleitung[Bearbeiten]

Für die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung gibt es verschiedene Ansätze bzw. Herangehensweisen. Im Folgenden sind drei Möglichkeiten dargestellt, die sich speziell auf Ellipsenbahnen beziehen und daher im entscheidenden Schritt auf die Beziehungen  \ 2a = r_P + r_A bzw.  \ r_P = 2a-r_A sowie die sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz ergebende Gleichung  \ r_P v_P = r_A v_A zurückgreifen, in denen a die große Halbachse der Ellipsenbahn, r_P und r_A deren Peri- und Apoapsisdistanz sowie v_P und v_A die zugehörigen Bahngeschwindigkeiten sind.

Die Herleitungen sind unter der Annahme durchgeführt, dass die Masse des umlaufenden Körpers im Verhältnis zum Zentralkörper vernachlässigbar ist (1). Soll die Masse des umlaufenden Körpers berücksichtigt werden (2), so muss bei der kinetischen Energie anstelle der normalen Körpermasse m die reduzierte Masse m_\text{red} eingesetzt werden:

m_\text{red} = \frac{ M m }{M\!+\!m}
\Rightarrow
E_\mathrm{kin} = \frac{v^2}{2} \cdot \frac{ M m }{M\!+\!m}

Dies ist ein Resultat dessen, dass die gesamte kinetische Energie der beiden beteiligten Körper die Summe der einzelnen kinetischen Energien ist:

E_\mathrm{kin} = \frac{M (v_M)^2 }{2} + \frac{m (v_m)^2}{2}

v_{M}\,\! ist dabei die Geschwindigkeit des Zentralkörpers relativ zum Inertialsystem des Baryzentrums, v_{m}\,\! die entsprechende Relativgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers und v die Relativgeschwindigkeit der beiden Körper zueinander.

Erste Möglichkeit[Bearbeiten]

Im Schwerkraftfeld einer Zentralmasse ist laut dem Energieerhaltungssatz die Summe der potentiellen Energie E_\mathrm{pot} und kinetischen Energie E_\mathrm{kin} eines Körpers der Masse m konstant.

Die durch die Masse M des Zentralkörpers verursachte Gravitationskraft F_\mathrm{G}, die auf einen Körper der Masse m wirkt, ist dabei gemäß nachfolgender Formel abhängig von der Entfernung x des Körpers vom Gravitationszentrum des Zentralkörpers, im Falle einer homogenen Kugel also von ihrem Mittelpunkt:

F_\mathrm{G}(x) = G \frac{M m}{x^2}

Die potentielle Energie, die der Körper gewinnt, wenn er von der Oberfläche des Zentralkörpers bis zu einer Position im Abstand r vom Gravitationszentrum gebracht wird, ergibt sich dementsprechend aus der Integration der auf ihn wirkenden Gravitationskraft entlang des von ihm dabei zurückgelegten Weges, wobei, da die Gravitationskraft radial wirkt, die Zunahme der potentiellen Energie allein vom überwundenen Höhenunterschied abhängt, eventuelle Seitwärtsbewegungen hier also keinerlei Rolle spielen:

E_\mathrm{pot}=\int_{r_0}^r F_\mathrm{G}(x)\,\mathrm dx=\int_{r_0}^r G \frac{M m}{x^2}\,\mathrm dx

Dabei ist r_0 der Ausgangsradius, x die momentane Entfernung des Körpers vom Gravitationszentrum, über die integriert wird, und r die am Ende erreichte Entfernung des Körpers vom Gravitationszentrum.

Wenn wir zur Vereinfachung der Schreibweise anstelle des Produkts GM fortan den Gravitationsparameter \mu benutzen wollen, liefert die obige Integration als Ergebnis schließlich folgenden Ausdruck:

E_\mathrm{pot}= \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r}}}\right)

Die kinetische Energie des Körpers ist bekannterweise:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Der Energieerhaltungssatz für einen sich im Gravitationsfeld einer Zentralmasse bewegenden Körper sagt aus, dass die Summe seiner potentiellen und kinetischen Energie entlang der Flugbahn konstant bleibt, die Gesamtenergie E des Körpers also ganz allgemein wie folgt formuliert werden kann:

E = \frac{1}{2} m v^2 + \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r}}}\right)

Jetzt betrachten wir die Gesamtenergie an den beiden beliebigen Punkten P_1 und P_2 mit E_1 = {E_2}:

\frac{1}{2} m v_1^2+ \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r_1}}}\right) = \frac{1}{2} m v_2^2+ \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r_2}}}\right)

Division durch m/2 und Subtraktion von 2\mu/r_0 auf beiden Gleichungsseiten liefert:

{v_1^2}-{2\mu\over{r_1}}={v_2^2}-{2\mu\over{r_2}}

Umgestellt nach v_1^2 ergibt sich dann:

v_1^2=v_2^2+2\mu\left({{1 \over{r_1}} - {1 \over{r_2}}}\right)

Wenn wir nun diese zunächst einmal für zwei beliebige Punkte im Raum geltende Gleichung auf eine Ellipse übertragen, können wir für v_1 und v_2 sowie r_1 und r_2 auch beispielsweise die Geschwindigkeiten v_A und v_P im Apozentrum und Perizentrum sowie die Apoapsis- und Periapsis-Distanz r_A und r_P einsetzen:

v_A^2=v_P^2+2\mu\left({{1 \over{r_A}} - {1 \over{r_P}}}\right)

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen  \ 2a = r_P + r_A bzw.  \ r_P = 2a-r_A sowie der sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz und der Drehimpulserhaltung ergebenden Gleichung  \ r_P v_P = r_A v_A kann man die eben erhaltene Formel für v_A^2 noch einmal wie folgt vereinfachen:

v_A^2=\mu\left({{2 \over{r_A}} - {1 \over{a}}}\right)

Ersetzen wir nun in der Gleichung für v_1^2 den Punkt P_1 durch den „wirklich“ beliebigen Ellipsenpunkt P ohne alle Indizes und die Parameter des zweiten Punktes P_2 durch die des Apozentrums, erhalten wir damit die folgende Gleichung, die sich problemlos zu der gesuchten Vis-Viva-Gleichung vereinfachen lässt:

v^2 = \mu\left({{2 \over{r_A}} - {1 \over{a}}}\right) + 2\mu\left({{1 \over{r}} - {1 \over{r_A}}}\right) \Leftrightarrow\ v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right).

Zweite Möglichkeit[Bearbeiten]

Die Schwer- oder Gravitationskraft F_\mathrm{G}(x) einer Masse m, deren Mittelpunkt sich im Abstand x vom Mittelpunkt einer zweiten Masse M befindet, kann mithilfe des Gravitationsgesetzes wie folgt berechnet werden:

F_\mathrm{G}(x) = m g = G \frac{M m}{x^2}

Betrachtet man einen Körper, dessen Masse m im Verhältnis zu der Masse M des Zentralgestirns vernachlässigbar klein ist, so stellt die potentielle Energie des Körpers diejenige Arbeit dar, welche gegen die Gravitationskraft F_\mathrm{G}(x) geleistet wird, wenn dieser Körper von einem Punkt im Abstand r vom Zentralkörper bis ins Unendliche verschoben wird.

Damit berechnet sich seine potentielle Energie mit:

E_\mathrm{pot}=-\int_r^\infty m g \,\mathrm dx = -\int_r^\infty \frac{GMm}{x^2}  \,\mathrm dx

Wird dabei der Faktor GM durch den Gravitationsparameter \mu ersetzt, liefert die Integration den Ausdruck:

E_\mathrm{pot}=-\frac{\mu m}{r}

Die kinetische Energie des Körpers ist bekannterweise:

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Der Energieerhaltungssatz für einen sich im Gravitationsfeld einer Zentralmasse bewegenden Körper sagt aus, dass die Summe seiner potentiellen und kinetischen Energie entlang der Flugbahn konstant bleibt, die Gesamtenergie E des Körpers also ganz allgemein wie folgt formuliert werden kann:

E = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r}

Wenn wir diese Gleichung nun auf eine Ellipse übertragen und für v und r zum Beispiel die Geschwindigkeit im Apozentrum v_A sowie die Apoapsis-Distanz r_A einsetzen, erhalten wir folgende Beziehung:

E = \frac{1}{2} m v_A^2-\frac{\mu m}{r_A}

Analog dazu erhalten wir für das Perizentrum die beiden einander gleichwertigen Gleichungen:

E = \frac{1}{2} m v_P^2-\frac{\mu m}{r_P} \Leftrightarrow\ v_P^2 = \frac{2E}{m} + \frac{2 \mu}{r_P}

Unter Zuhilfenahme der sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz und der Drehimpulserhaltung ergebenden Gleichung  \ r_P v_P = r_A v_A kann man die eben erhaltene Formel für v_P^2 in eine für v_A^2 umformen und den gewonnenen Ausdruck anschließend in die obige Energiegleichung des Apozentrums einsetzen, die sich durch Umstellen nach E und Zuhilfenahme der Beziehungen  \ 2a = r_P + r_A bzw.  \ r_P = 2a-r_A noch einmal vereinfachen lässt:

E = E \frac{r_P^2}{r_A^2} + \mu m (\frac{r_P - r_A}{r_A^2}) \Leftrightarrow\ E = -\frac{\mu m}{2 a}

Einsetzen des erhaltenen Ausdrucks für E in die allgemeine Gleichung der Gesamtenergie

-\frac{\mu m}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r}

und Umstellen nach v liefert auch in diesem Fall zu guter Letzt die Vis-Viva-Gleichung:

v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)

Dritte Möglichkeit[Bearbeiten]

Die dritte Möglichkeit geht wieder wie zuvor von den beiden zunächst unbekannten Gesamtenergien im Apo- und Perizentrum aus, multipliziert diese aber anschließend mit dem Quadrat der jeweiligen Bahngeschwindigkeit v_A bzw. v_P:

E = \frac{1}{2} m v_A^2-\frac{\mu m}{r_A} \Leftrightarrow\ E \cdot r_A^2 = \frac{1}{2} m v_A^2r_A^2 - \mu m r_A
E = \frac{1}{2} m v_P^2-\frac{\mu m}{r_P} \Leftrightarrow\ E \cdot r_P^2 = \frac{1}{2} m v_P^2r_P^2 - \mu m r_P

Abermals unter Zuhilfenahme der schon erwähnten Gleichung  \ r_P v_P = r_A v_A kann man nun in der zweiten der beiden neu erhaltenen Gleichungen den Ausdruck v_P^2r_P^2 durch v_A^2r_A^2 ersetzen und anschließend die Differenz der beiden Gleichungen bilden:

E \cdot r_A^2 - E \cdot r_P^2 = - \mu m r_A + \mu m r_P  = - \mu m(r_A - r_P)

Division durch \ r_A^2-r_P^2 und Ersetzen des erhaltenen Nenners \ r_A + r_P durch \ 2a liefert wie schon zuvor die ortsunabhängige Gesamtenergie

E = -\frac{\mu m}{2 a}

und daraus über die allgemeine Gleichung der Gesamtenergie

-\frac{\mu m}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r}

die gesuchte Vis-Viva-Gleichung:

v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)

Beispiel: Bahngeschwindigkeiten im Sonnensystem[Bearbeiten]

Im Sonnensystem ist die Sonne der dominierende Zentralkörper. Die Masse der Erde beträgt z.B. nur 1/330.000 der Sonnenmasse und kann bei der Anwendung der Vis-Viva-Gleichung vernachlässigt werden – der Fehler ist kleiner als die Vernachlässigung von Bahnstörungen durch Jupiter. Mit vernachlässigtem m ist \mu konstant, und es liegt nahe, diese Konstante bis auf eine Längeneinheit aus der Wurzel herauszuziehen und als Vorfaktor auszurechnen.

Entfernungen im Sonnensystem liegen oft in Astronomischen Einheiten vor. Wir ziehen also GM_\textrm{Sonne}/1\,\textrm{AE} aus der Wurzel heraus. Der Vorfaktor hat dann nicht zufällig (siehe Gaußsche Gravitationskonstante) den Wert

\sqrt{GM/1\,\textrm{AE}} = 2\pi\,\textrm{AE pro Jahr} \approx 0{,}01720\,\textrm{AE pro Tag} \approx 29{,}785\,\textrm{km/s} \,,

die mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne.

Wir wollen zunächst die Geschwindigkeit der Erde auch im Perihel und im Aphel berechnen. Die Entfernungen zur Sonne in diesen beiden Punkten der Bahn betragen 0,983 AE bzw. 1,017 AE und a ist per Definition 1 AE. Also

v_\textrm{Perihel} = 29{,}785 \textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{0{,}983} - \frac{1}{1}} = 30{,}296 \textrm{km/s}
v_\textrm{Aphel} = 29{,}785 \textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}017} - 1} = 29{,}284 \textrm{km/s}

Nun noch die Geschwindigkeiten des gerade von der Raumsonde Rosetta besuchten Kometen Tschurjumow-Gerasimenko im Perihel, im Aphel und in 3 AE Entfernung. a beträgt 3,503 AE.

v_\textrm{Perihel} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}289} - \frac{1}{3{,}503}} = 33{,}51\,\textrm{km/s}
v_\textrm{Aphel} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{5{,}717} - \frac{1}{3{,}503}} = 7{,}56\,\textrm{km/s}
v_\textrm{3 AE} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{3} - \frac{1}{3{,}503}} = 18{,}39\,\textrm{km/s}

Literatur[Bearbeiten]