Vollständiger Raum

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Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der reellen Zahlen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge von Elementen eines metrischen Raums heißt Cauchy-Folge, falls

gilt. Weiter konvergiert eine Folge gegen ein Element , falls

gilt.

Ein metrischer Raum heißt nun vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.[1]

Anmerkungen

  • Zwar ist eine konvergente Folge stets eine Cauchy-Folge, aber die umgekehrte Richtung muss nicht notwendigerweise wahr sein. In einem vollständigen Raum besitzt nun eine Folge genau dann einen Grenzwert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist; die beiden Begriffe fallen also zusammen.[1]
  • Oftmals fordert man in der Definition der Vollständigkeit, dass jede Cauchy-Folge gegen ein Element „in “ konvergiere. Der Zusatz „in “ ist nicht unbedingt notwendig, da für Folgen in schon gemäß der Definition der Konvergenz nur Elemente aus als Grenzwerte in Frage kommen. Lediglich wenn mehrere metrische Räume betrachtet werden, zwischen denen es Schnittmengen gibt, werden üblicherweise Grenzwerte aus einem anderen Raum in Betracht gezogen. Ein typisches Beispiel dafür ist, dass ein Teilraum eines metrischen Raums behandelt wird.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

nicht vollständig, denn die Folge rationaler Zahlen ist eine Cauchy-Folge, deren Grenzwert (siehe Heron-Verfahren) die irrationale Zahl ist, die nicht in liegt.
  • Das abgeschlossene reelle Intervall , die Menge der reellen Zahlen und die Menge der komplexen Zahlen sind mit der reellen bzw. komplexen Betragsmetrik jeweils vollständig.
  • Das offene reelle Intervall ist mit der Betragsmetrik nicht vollständig, denn der Grenzwert der harmonischen Folge liegt nicht in dem Intervall. Es gibt allerdings vollständige Metriken auf , die dieselbe Topologie wie die Betragsmetrik erzeugen, zum Beispiel
  für   .
  • Der Raum der p-adischen Zahlen ist vollständig für jede Primzahl . Dieser Raum ist die Vervollständigung von bezüglich der Metrik des p-adischen Betrags
,
ebenso wie die Vervollständigung von für die Metrik des Absolutbetrags ist.
vollständig. Einen vollständigen Skalarproduktraum nennt man Hilbertraum.
  • Jeder endlichdimensionale normierte Raum, beispielsweise der Raum der reellen oder komplexen Matrizen bzw. mit einer Matrixnorm, ist mit der von der Norm abgeleiteten Metrik
vollständig. Einen vollständigen normierten Raum nennt man Banachraum.
  • Ist eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge aller Folgen in zu einem vollständigen metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier Folgen auf
setzt, wobei der kleinste Index ist, für den verschieden von ist, und wobei der Abstand einer Folge zu sich selbst ist.
  • Für weitere Beispiele vollständiger Räume unendlicher Dimension siehe die Artikel Banachraum und Hilbertraum.

Einige Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist selbst genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist.

Ist eine nichtleere Menge und ein vollständiger metrischer Raum, dann ist der Raum der beschränkten Funktionen von nach mit der Metrik

ein vollständiger metrischer Raum.

Ist ein topologischer Raum und ein vollständiger metrischer Raum, dann ist die Menge der beschränkten stetigen Funktionen von nach eine abgeschlossene Teilmenge von und als solche mit der obigen Metrik vollständig.

In der Riemannschen Geometrie ist die Aussage metrischer Vollständigkeit äquivalent zu der geodätischer Vollständigkeit (Satz von Hopf-Rinow).

Vervollständigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder metrische Raum mit einer Metrik kann vervollständigt werden, das heißt, es gibt einen vollständigen metrischen Raum mit einer Metrik und einer Isometrie , so dass dicht in liegt. Der Raum heißt Vervollständigung von . Da alle Vervollständigungen von isometrisch isomorph sind, spricht man auch von der Vervollständigung von .

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vervollständigung von kann man als Menge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in konstruieren.

Sei dazu zunächst die Menge der Cauchy-Folgen in und der Abstand zweier Cauchy-Folgen , definiert durch

.

Dieser Abstand ist wohldefiniert und eine Pseudometrik auf . Die Eigenschaft definiert eine Äquivalenzrelation auf . Überträgt man nun den Abstand auf die Quotientenmenge als Abstand zweier (beliebiger) Repräsentanten und , dann haben diese den Abstand 0 genau dann, wenn sie äquivalent sind. Also ist ein metrischer Raum.

ist überdies vollständig. Denn ist eine Cauchy-Folge von Elementen aus , dann gibt es zu jedem Folgenglied einen Repräsentanten , der eine Cauchy-Folge ist mit . Alle Folgenglieder sind Elemente aus , und alle (kofinalen) Teilfolgen sind Cauchy und zueinander äquivalent. Mit dem ersten Diagonalargument von Cantor lässt sich aus diesem quadratischen Tableau, bei dem nach rechts und nach unten ins Unendliche wächst, lässt sich aus diesen unendlich vielen Folgen (unendlicher Länge) eine einzige Folge machen.[2] Sie ist eine Cauchy-Folge , denn zu jedem gibt es , so dass , also auch und somit auch ist.

der Äquivalenzklasse in ist der Grenzwert der Ausgangsfolge.

Man kann jedem Element die konstante Folge zuordnen, denn sie ist eine Cauchy-Folge. Auf diese Weise lässt sich der ursprüngliche metrische Raum in einbetten.

Die gezeigte Konstruktion von aus dem metrischen Raum nennt man die Vervollständigung von . Wie weiter oben gezeigt, ergibt die Vervollständigung eines bereits vollständigen Raumes nichts Neues.

Ist ein normierter Raum, so kann man seine Vervollständigung auch einfacher bilden, indem man

als den Abschluss des Bildes von im Bidualraum unter der kanonischen Einbettung wählt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen ist ein Spezialfall hiervon. Allerdings muss man dabei, da die Metrik die Existenz der reellen Zahlen schon voraussetzt, die Äquivalenzrelation dadurch definieren, dass die Differenzfolge zweier Cauchy-Folgen eine Nullfolge ist.

Wie oben schon gesagt, erhält man andere metrische Räume , wenn man statt der gewöhnlichen Betragsmetrik eine p-adische Metrik verwendet und vervollständigt.

Vervollständigt man einen normierten Vektorraum, so erhält man einen Banachraum, der den ursprünglichen Raum als dichten Teilraum enthält. Daher erhält man auch einen Hilbertraum, wenn man einen euklidischen Vektorraum vervollständigt, denn die Parallelogrammgleichung bleibt in der Vervollständigung als normierter Raum erfüllt und das vollständige Skalarprodukt ergibt sich dann über die Polarisationsformel.

Gleichmäßig stetige Abbildungen eines metrischen Raumes in einen vollständigen metrischen Raum lassen sich stets eindeutig zu (automatisch ebenfalls gleichmäßig) stetigen Abbildungen auf der Vervollständigung mit Werten in fortsetzen.

Vollständig metrisierbare Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Metrik, nicht der Topologie, das heißt, ein vollständiger metrischer Raum kann homöomorph zu einem unvollständigen metrischen Raum sein. Zum Beispiel sind die reellen Zahlen vollständig, aber homöomorph zum offenen Intervall , das nicht vollständig ist (zum Beispiel ist ein Homöomorphismus von nach ). Ein anderes Beispiel sind die irrationalen Zahlen, die zwar nicht vollständig, aber homöomorph zum Raum der natürlichen Zahlenfolgen (ein Spezialfall eines Beispiels von oben) sind.

In der Topologie betrachtet man vollständig metrisierbare Räume, das heißt Räume, für die mindestens eine vollständige Metrik existiert, die die vorhandene Topologie erzeugt.

Uniforme Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie viele andere Begriffe aus der Theorie metrischer Räume lässt sich auch der Begriff der Vollständigkeit auf die Klasse der uniformen Räume verallgemeinern: Ein uniformer Raum heißt vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz konvergiert. Die meisten oben genannten Aussagen bleiben im Kontext uniformer Räume gültig, beispielsweise besitzt auch jeder uniforme Raum eine eindeutige Vervollständigung.

Topologische Vektorräume tragen eine natürliche uniforme Struktur und sie heißen vollständig, wenn sie bezüglich dieser uniformen Struktur vollständig sind. Sie heißen quasivollständig, wenn jedes beschränkte Cauchy-Netz konvergiert, das heißt, wenn jede beschränkte, abgeschlossene Menge vollständig ist.

Eine topologische Gruppe heißt vollständig, wenn sie bezüglich ihrer linken uniformen Struktur (oder äquivalent: zu ihrer rechten uniformen Struktur) vollständig ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.
  2. Beispielsweise, indem man aus dem einen Index zwei Indizes und mit macht, so dass alle Folgenglieder in dieser Folge enthalten sind.