Von-Neumann-Gleichung

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Die Von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) stellt das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators im Schrödinger-Bild:

ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und ist ein Kommutator. Der Dichteoperator ist . Dabei bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, in einem Gemisch den reinen Zustand zu messen, falls die Zustände orthogonal sind. Die Spur eines Dichteoperators ergibt 1, da .

Diskussion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Lösung der Von-Neumann-Gleichung ist, wobei der Zeitentwicklungsoperator und sein adjungierter Operator verwendet werden:

Der Dichteoperator ist stationär , wenn dieser mit dem Hamiltonoperator vertauscht .

Mit Hilfe der Von-Neumann-Gleichung kann man zeigen, dass die Spur des quadratischen Dichteoperators zeitlich konstant ist:

Hierbei wurde im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Wegen mit Gleichheit genau dann, wenn einen reinen Zustand beschreibt, folgt daraus, dass reine Zustände rein bleiben und gemischte gemischt.

Erwartungswerte von Operatoren werden durch ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte

ist im stationären Fall gleich:

Der Erwartungswert einer Messung zeitunabhängiger Observablen ist im stationären Fall zeitunabhängig .

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Von-Neumann-Gleichung lässt sich aus der Schrödingergleichung herleiten.

Man bildet die partielle Ableitung des statistischen Operators, wobei man die Produktregel berücksichtigt:

Die Schrödingergleichung lautet für Hilbertraumvektoren (Ket)

und für duale Hilbertraumvektoren (Bra)

Dies setzt man oben ein:

Vereinfachen liefert die Von-Neumann-Gleichung:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]