Vorzeichenwechsel

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Ein Vorzeichenwechsel ist in der Mathematik ein Wechsel des Vorzeichens der Funktionswerte einer reellen Funktion an einer Stelle oder innerhalb eines Intervalls. Weist eine stetige reelle Funktion in einem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt sie nach dem Nullstellensatz dort mindestens eine Nullstelle. Eine differenzierbare reelle Funktion besitzt an einer Stelle ein Extremum, wenn ihre Ableitung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Entsprechend besitzt eine zweimal differenzierbare reelle Funktion an einer Stelle einen Wendepunkt, wenn ihre Krümmung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Vorzeichenwechsel in reellen Zahlenfolgen spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse der Nullstellen von Polynomen.

Vorzeichenwechsel an einer Stelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen
Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Funktion weist an der Stelle einen Vorzeichenwechsel auf, wenn die Funktionswerte von dort ihr Vorzeichen ändern. Es werden die folgenden zwei Fälle unterschieden:[1]

  • Vorzeichenwechsel von plus nach minus: es existiert ein , sodass für alle und für alle gilt
  • Vorzeichenwechsel von minus nach plus: es existiert ein , sodass für alle und für alle gilt

Ist die Funktion stetig, dann durchdringt der Funktionsgraph von an der Stelle die x-Achse. Kein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn der Graph der Funktion die x-Achse an der Stelle lediglich berührt. Besitzt die Funktion an der Stelle eine senkrechte Asymptote, so spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.[2]

Bestimmung von Extrema[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Kurvendiskussion liefert das sogenannte Vorzeichenwechselkriterium eine hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extremums an einer Stelle. Eine differenzierbare reelle Funktion besitzt an der Stelle ein Extremum, wenn ist und an der Stelle das Vorzeichen wechselt. Die Funktion besitzt dann an

  • ein lokales Maximum, wenn das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
  • ein lokales Minimum, wenn das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Funktion für streng monoton steigend und für streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.[1]

Bestimmung von Wendepunkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog kann das Vorzeichenwechselkriterium auch zur Bestimmung von Wendepunkten eingesetzt werden. Eine zweimal differenzierbare reelle Funktion besitzt an der Stelle einen Wendepunkt, wenn ist und an der Stelle das Vorzeichen wechselt. Das Krümmungsverhalten der Funktion ändert sich dann an

  • von konvex nach konkav, wenn das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
  • von konkav nach konvex, wenn das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Ableitung für streng monoton steigend und für streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.[3]

Vorzeichenwechsel in einem Intervall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Funktion weist in dem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, wenn es zwei verschiedene Stellen gibt, für die

gilt. Gilt sogar

,

so spricht man von einem echten Vorzeichenwechsel. Die Ungleichungsbedingung besagt, dass die Funktion an den beiden Stellen und ein unterschiedliches Vorzeichen hat (oder gleich null ist).[4]

Nullstellensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weist eine stetige reelle Funktion in dem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt diese Funktion in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle, das heißt eine Lösung der Gleichung

.

Nach der Definition eines Vorzeichenwechsels existieren nämlich in dem Intervall Stellen mit . Nun lässt sich eine Intervallschachtelung mit und konstruieren, sodass für alle

gilt. Hierzu wird das Intervall sukzessive halbiert und jeweils dasjenige Teilintervall ausgewählt, für das die Ungleichungsbedingung erhalten bleibt. Die gesuchte Nullstelle ergibt sich dann als

.

Eine Verallgemeinerung dieser als Nullstellensatz oder Nullstellensatz von Bolzano (nach Bernard Bolzano) bekannten Aussage ist der Zwischenwertsatz.[4]

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der numerischen Mathematik werden endliche Intervallschachtelungen zur numerischen Approximation von Nullstellen verwendet. Im Bisektionsverfahren und im Regula-falsi-Verfahren werden Varianten solcher Intervallschachtelungen eingesetzt, um eine Nullstelle einer gegebenen stetigen Funktion, bei der zwei Stellen mit unterschiedlichen Vorzeichen bekannt sind, näherungsweise zu bestimmen. In der Optimierung kommen solche Intervallschachtelungsverfahren bei der Bestimmung der Minima oder Maxima einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion zum Einsatz, indem die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion näherungsweise ermittelt werden.

Vorzeichenwechsel in einer Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Folge reeller Zahlen, die alle ungleich null sind, dann ist ein Vorzeichenwechsel dieser Folge ein Indexpaar , für das

gilt. Die Vorzeichenwechsel einer beliebigen Folge reeller Zahlen werden dann als die Vorzeichenwechsel der Teilfolge der von null verschiedenen Elemente dieser Folge definiert. Beispielsweise besitzt die Folge

genau drei Vorzeichenwechsel.[5]

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorzeichenwechsel der Koeffizentenfolge eines reellen Polynoms geben Hinweise auf die Anzahl und die Verteilung der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Nach der Vorzeichenregel von Descartes ist die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms gleich oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als die Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge. Hierbei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Ein weiteres Hilfsmittel bei der Analyse der Nullstellen reeller Polynome bieten sturmsche Ketten. Ist ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und die Anzahl der Vorzeichenwechsel der (endlichen) Folge der Funktionswerte der sturmschen Kette von an der Stelle , dann ist nach der Regel von Sturm die Anzahl der Nullstellen von in dem halboffenen Intervall gerade gleich .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, ISBN 978-3-486-27569-8.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Springer, 1988, ISBN 3-519-02212-5.
  • Rolf Walter: Einführung in die Analysis, Teil 1. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019539-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, S. 144.
  2. Hannes Stoppel: Mathematik anschaulich: Brückenkurs mit Maple. Oldenbourg, 2002, S. 26.
  3. Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, S. 150.
  4. a b Rolf Walter: Einführung in die Analysis, Teil 1. de Gruyter, 2007, S. 138.
  5. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Springer, 1988, S. 112.