Wahrscheinlichkeitsmaß

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie dient ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur mathematischen Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P, die jedem Ereignis A aus dem Ereignisraum \Sigma eines Zufallsexperiments eine Zahl P(A) zwischen 0 und 1, genannt Wahrscheinlichkeit von A, zuordnet und folgende Eigenschaften hat:

  • Das sichere Ereignis \Omega hat die Wahrscheinlichkeit 1.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von mehreren paarweise disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Definition[Bearbeiten]

Sei \left(\Omega,\Sigma\right) ein Messraum, also \Sigma eine σ-Algebra über der Grundmenge \Omega. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P\colon \Sigma\to [0,1], welche die folgenden Kolmogorov-Axiome erfüllt:

P\left(\bigcup_{n\ge 1} A_n\right) = \sum_{n\ge 1} P(A_n).

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist somit ein Maß P auf einem Messraum \left(\Omega,\Sigma\right) mit der Eigenschaft P\left(\Omega\right) = 1. Die Kombination von Ergebnismenge, Ereignisalgebra und Wahrscheinlichkeitsmaß, das heißt den Maßraum \left(\Omega,\Sigma,P\right), bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.

Alternativ kann man auch σ-additive positive Mengenfunktionen auf Semialgebren als Wahrscheinlichkeitsmaße definieren, sie lassen sich dann mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory immer eindeutig zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß im obigen Sinn fortsetzen.

Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße[Bearbeiten]

Schwächt man die Normierungsforderung  P(\Omega)= 1 ab und setzt anstelle dessen die schwächere Forderung  P(\Omega)\leq 1 , so nennt man  P ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß. Somit ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auch immer ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß.

Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen[Bearbeiten]

Allgemeine Verfahren[Bearbeiten]

Verteilungen[Bearbeiten]

Mittels der Verteilung einer Zufallsvariablen kann ein Wahrscheinlichkeitsmaß über eine Zufallsvariable in einen zweiten Messraum übertragen werden und erzeugt dort wieder eine entsprechend der Zufallsvariablen transformierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieses Vorgehen entspricht der Konstruktion eines Bildmaßes in der Maßtheorie und liefert viele wichtige Verteilungen wie beispielsweise die Binomialverteilung.

Normierung[Bearbeiten]

Jedes endliche Maß kann durch Normierung in ein Wahrscheinlichkeitsmaß umgewandelt werden. Ebenso kann man ein σ-endliches Maß \mu in ein Wahrscheinlichkeitsmaß transformieren, dies ist aber nicht eindeutig. Ist  A_n eine Zerlegung des Grundraumes in Mengen endlichen Maßes wie in der Definition des σ-endlichen Maßes gefordert, so liefert beispielsweise

 P(A):=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{\mu_\sigma (A_n \cap A)}{\mu_\sigma(A_n)}

das Geforderte.

Produktmaße[Bearbeiten]

Eine wichtige Möglichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaße auf großen Räumen zu definieren, sind die Produktmaße. Dabei bildet man das kartesische Produkt zweier Grundmengen und fordert, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser größeren Menge (auf gewissen Mengen) genau dem Produkt der Wahrscheinlichkeitsmaße auf den kleineren Mengen entspricht. Insbesondere unendliche Produktmaße sind wichtig für die Existenz von stochastischer Prozesse.

Verfahren bei Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den ganzen oder reellen Zahlen[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsfunktionen[Bearbeiten]

Über eine Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den ganzen Zahlen definieren. Dafür definiert man eine Funktion, die jeder ganzen Zahl  n \in \Z die Wahrscheinlichkeit  P(\{n\}) zuordnet. Die Wahrscheinlichkeit mehrerer Zahlen erhält man dann durch das Aufsummieren der Funktionswerte. Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen um einen Spezialfall einer Wahrscheinlichkeitsdichte.

Wahrscheinlichkeitsdichten[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsdichten sind das kontinuierliche Pendant der Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Anstelle über mehrere Funktionswerte aufzusummieren bildet man hier aber das Integral über die Menge, deren Wahrscheinlichkeit man bestimmen will. Nicht jedes reelle Wahrscheinlichkeitsmaß besitzt eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Verteilungsfunktionen[Bearbeiten]

Eine Verteilungsfunktion ist eine reelle Funktion  F , die über

 P([a,b])=F(b)-F(a)

ein Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmt. Jedem reellen Wahrscheinlichkeitsmaß kann eindeutig eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Unter Umständen ist die Wahrscheinlichkeitsdichte die Ableitung der Verteilungsfunktion. Verteilungsfunktionen existieren ebenso in der Maßtheorie.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]