Wahrscheinlichkeitsraum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Modellierung eines Glücksrads durch einen Wahrscheinlichkeitsraum: Die Menge der möglichen Ergebnisse ist hier Ω = {1,2,3}. Allen Teilmengen von Ω werden ihre Wahrscheinlichkeiten proportional zu ihrem Anteil an der Gesamtfläche des Rades zugeordnet.

Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein grundlegender Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich um ein mathematisches Modell zur Beschreibung von Zufallsexperimenten. Hierbei werden die verschiedenen möglichen Ausgänge des Experiments zu einer Menge zusammengefasst. Gewissen Teilmengen dieser Ergebnismenge können dann Zahlen zwischen 0 und 1 zugeordnet werden, die als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden.

Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums wurde in den 1930er Jahren durch den russischen Mathematiker Andrei Kolmogorow eingeführt, dem damit die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelang (siehe auch: Kolmogorow-Axiome).

Definition[Bearbeiten]

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum (\Omega,\Sigma,P), dessen Maß P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Im Einzelnen bedeutet das:

  • \Omega ist eine beliebige nichtleere Menge, genannt die Ergebnismenge. Ihre Elemente heißen Ergebnisse.
  • \Sigma ist eine σ-Algebra über der Grundmenge \Omega, also eine Menge bestehend aus Teilmengen von \Omega, die \Omega enthält und abgeschlossen gegenüber der Bildung von Komplementen und abzählbaren Vereinigungen ist. Die Elemente von \Sigma heißen Ereignisse. Die σ-Algebra \Sigma selbst wird auch Ereignissystem, oder Ereignisalgebra genannt.
  • P \colon \Sigma \to [0,1] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das heißt eine Mengenfunktion, die den Ereignissen Zahlen zuordnet, derart dass P(\emptyset) = 0 ist, P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots für paarweise disjunkte Ereignisse A_1, A_2, \dotsc gilt und P(\Omega) = 1 ist.

Ist die Ergebnismenge  \Omega endlich oder abzählbar unendlich, so spricht man auch von einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum

Der Messraum (\Omega, \Sigma) wird auch Ereignisraum genannt. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist also ein Ereignisraum, auf dem zusätzlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist.

Beispiel[Bearbeiten]

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum[Bearbeiten]

Ein Beispiel eines diskreten Warscheinlichkeitsraumes wäre zum Beispiel

  • die Ergebnismenge der natürlichen Zahlen  \N= \{0,1,2, \dots \} . Dann ist jede natürliche Zahl ein Ergebnis.
  • Als Ereignissystem wählt man dann wie immer bei höchstens abzählbar unendlichen Mengen die Potenzmenge  \mathcal P (\N) . Dann sind alle Teilmengen der natürlichen Zahlen Ereignisse.
  • Als Wahrscheinlichkeitsmaß kann man beispielsweise die Poisson-Verteilung  P_\lambda wählen. Sie weist jeder Zahl  \{k \} die Wahrscheinlichkeit  P_\lambda (k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda} für einen echt positiven Parameter  \lambda zu

Dann ist  (\N, \mathcal P ( \N ), P_\lambda) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.

Reeller Wahrscheinlichkeitsraum[Bearbeiten]

Ein Beispiel eines reellen Wahrscheinlichkeitsraumes wäre

  • die Ergebnismenge der positiven reellen Zahlen  \Omega=\R_+=[0, \infty ) . Dann ist jede positive reelle Zahl ein Ergebnis.
  • Als Ereignissystem die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen, eingeschränkt auf die positiven reellen Zahlen  \mathcal B (\R)\cap [0,\infty)=\mathcal B ([0, \infty)) . Dann sind zum Beispiel alle abgeschlossenen, alle halboffenen und alle offenen Intervalle und deren Vereinigungen, Schnitte und Komplemente Ereignisse.
  • Als Wahrscheinlichkeitsmaß zum Beispiel die Exponentialverteilung. Sie weißt jeder Menge  A in der Borelschen σ-Algebra die Wahrscheinlichkeit
 P_{\mathrm{Exp}(\lambda)}(A)=\int_A \lambda \exp(-\lambda x) \mathrm dx
für einen Parameter  \lambda > 0 zu.

Dann ist  ( [0, \infty), \mathcal B ([0, \infty)),  P_{\mathrm{Exp}(\lambda)}) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S.37, S.180, S. 283.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.