Wahrscheinlichkeitsmaß

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit Abbildungen, die Mengen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Für die Übertragung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes durch eine Zufallsvariable in einen neuen Messraum siehe Verteilung einer Zufallsvariablen.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß, kurz W-Maß oder synonym[1] Wahrscheinlichkeitsverteilung beziehungsweise kurz W-Verteilung oder einfach Verteilung genannt, ist ein grundlegendes Konstrukt der Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Seltener findet sich auch die Bezeichnung Wahrscheinlichkeitsgesetz. Wahrscheinlichkeitsmaße dienen dazu, Mengen eine Zahl zwischen null und eins zuzuordnen. Diese Zahl ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das durch die Menge beschriebene Ereignis eintritt. Typisches Beispiel hierfür wäre das Werfen eines fairen Würfels: Der Menge {2}, also dem Ereignis, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird von der Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeit zugeordnet.

Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei

Dann heißt eine Abbildung

mit den Eigenschaften

  • Normiertheit: Es ist
  • σ-Additivität: Für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Mengen aus gilt

ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die drei Forderungen Normiertheit, σ-Additivität und Werte im Intervall zwischen 0 und 1 werden auch die Kolmogorow-Axiome genannt.

Elementares Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein elementares Beispiel für ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist durch den Wurf eines fairen Würfels gegeben. Der Ergebnisraum ist gegeben durch

und enthält alle möglichen Ausgänge des Würfelns. Das Ereignissystem enthält alle Teilmengen des Ergebnisraumes, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. In diesem Fall will man jeder Teilmenge des Ergebnisraumes eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, daher wählt man als Ereignissystem die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen von

.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß lässt sich nun definieren als

,

da man von einem fairen Würfel ausgeht. Jede Augenzahl ist demnach gleich wahrscheinlich. Interessiert man sich nun für die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine gerade Zahl zu würfeln, folgt aus der σ-Additivität

Wichtig ist hier, dass Wahrscheinlichkeitsmaße keine Zahlen, sondern nur Mengen als Argumente nehmen. Daher sind Schreibweisen wie streng genommen falsch und müssten korrekterweise lauten.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Verteilungen von Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Literatur wird nicht immer streng zwischen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung – also einer Abbildung, die auf einem Mengensystem definiert ist und den Kolmogorow-Axiomen genügt – und der Verteilung einer Zufallsvariablen unterschieden.

Verteilungen von Zufallsvariablen entstehen, wenn man eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert, um relevante Informationen zu extrahieren. Beispiel hierfür wäre eine Lotto-Ziehung: Der Wahrscheinlichkeitsraum modelliert die Wahrscheinlichkeit, eine ganz bestimmte Zahlenkombination zu ziehen. Interessant ist aber nur die Information über die Anzahl der richtigen Zahlen. Diese wird von der Zufallsvariablen extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen ordnet nur dieser neuen Information aufgrund der ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten im Wahrscheinlichkeitsraum eine neue Wahrscheinlichkeit zu.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß wird durch die Zufallsvariable vom originären Wahrscheinlichkeitsraum in einen neuen „künstlichen“ Wahrscheinlichkeitsraum übertragen und induziert dort als Bildmaß unter der Zufallsvariablen ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß. Im maßtheoretischen Sinne handelt es bei einer Zufallsvariablen um eine Abbildung

zwischen dem originären Wahrscheinlichkeitsraum und den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen -Algebra. Da eine Zufallsvariable zudem per Definition die -Messbarkeit erfüllt, also für jede messbare Menge gilt

ergibt sich für alle durch

auf natürliche Weise das Bildmaß von unter oder kurz die Verteilung der Zufallsvariablen .

Jede Verteilung einer Zufallsvariablen ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Umgekehrt kann jede Wahrscheinlichkeitsverteilung als Verteilung einer nicht näher präzisierten Zufallsvariablen angesehen werden. Einfachstes Beispiel für solch eine Konstruktion ist, von einem vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsraum eine identische Abbildung

zu definieren. Die Verteilung der Zufallsvariablen entspricht also in diesem Fall genau dem Wahrscheinlichkeitsmaß

Da sich demnach abstrakte und komplizierte Wahrscheinlichkeitsmaße durch Zufallsexperimente als konkrete Verteilungen von Zufallsvariablen aufzufassen lassen, ergeben sich die üblichen Notationen

für die Verteilungsfunktion von . Diese entspricht also offensichtlich der Verteilung eingeschränkt auf das System der Halbstrahlen – ein konkreter schnittstabiler Erzeuger der Borelschen -Algebra. Über den Maßeindeutigkeitssatz ergibt sich unmittelbar, dass durch die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen immer auch die Verteilung in eindeutiger Weise bestimmt wird.

Eigenschaften als Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Eigenschaften folgen aus der Definition.

  • Es ist . Dies folgt aus der σ-Additivität und der Tatsache, dass die leere Menge disjunkt zu sich selbst ist.
  • Subtraktivität: Für mit gilt
.
  • Monotonie: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine monotone Abbildung von nach , das heißt, für gilt
.
  • Endliche Additivität: Aus der σ-Additivität folgt direkt, dass für paarweise disjunkte Mengen gilt:
  • σ-Subadditivität: Für eine beliebige Folge von Mengen aus gilt
.
sowie
.
Im einfachsten Fall entspricht dies

Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verfahren bei Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den ganzen oder reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf einer endlichen oder abzählbar unendlichen Grundmenge , versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra, also lassen sich Wahrscheinlichkeitmaße durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen definieren. Dies sind Abbildungen

.

Die zweite Forderung liefert die Normiertheit des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Dieses wird dann definiert durch

.

Beispielsweise wäre im Falle eines fairen Würfels die Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert durch

.

Ein Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf einer abzählbar unendlichen Menge liefert die geometrische Verteilung, eine ihrer Varianten besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

.

Dabei ist . Die Normiertheit folgt hier mittels der geometrischen Reihe. Aus formaler Sicht ist wichtig, dass Wahrscheinlichkeitsfunktionen nicht wie Wahrscheinlichkeitsmaße Mengen als Argumente nehmen, sondern Elemente der Grundmenge . Daher wäre die Schreibweise falsch, korrekterweise heißt es .

Aus maßtheoretischer Sicht lassen sich Wahrscheinlichkeitsfunktionen auch als Wahrscheinlichkeitsdichten auffassen. Sie sind dann die Wahrscheinlichkeitsdichten bezüglich des Zählmaßes. Daher werden Wahrscheinlichkeitsfunktionen auch als Zähldichten bezeichnet. Trotz dieser Gemeinsamkeit wird streng zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen (auf diskreten Grundräumen) und den Wahrscheinlichkeitsdichten (auf stetigen Grundräumen) unterschieden.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf den reellen Zahlen , versehen mit der Borelschen σ-Algebra lassen sich Wahrscheinlichkeitsmaße über Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen definieren. Dies sind integrierbare Funktionen , für die gilt:

  • Positivität:
  • Normiertheit:

Das Wahrscheinlichkeitsmaß wird dann für durch

definiert.

Das Integral ist hier ein Lebesgue-Integral. In vielen Fällen ist jedoch ein Riemann-Integral ausreichend, man schreibt dann anstelle von . Typisches Beispiel eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, das auf diese Art definiert wird, ist die Exponentialverteilung. Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Es ist dann beispielsweise

für einen Parameter . Das Konzept von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen kann auch auf den ausgeweitet werden. Es lassen sich aber nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen, sondern nur diejenigen, die absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes sind.

Verteilungsfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf den reellen Zahlen , versehen mit der Borelschen σ-Algebra lassen sich Wahrscheinlichkeitsmaße auch mit Verteilungsfunktionen definieren. Eine Verteilungsfunktion ist eine Funktion

mit den Eigenschaften

.

Für jede Verteilungsfunktion gibt es ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß mit

.

Umgekehrt kann mittels der obigen Identität jedem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Die Zuordnung von Wahrscheinlichkeitsmaß und Verteilungsfunktion ist bijektiv. Die Wahrscheinlichkeiten eines Intervalles enthält man dann über

.

Insbesondere lässt sich auch jedem Wahrscheinlichkeitsmaß auf oder eine Verteilungsfunktion zuordnen. So ist die Bernoulli-Verteilung auf der Grundmenge definiert durch für einen reellen Parameter . Aufgefasst als Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen besitzt sie die Verteilungsfunktion

.

Verteilungsfunktionen können auch für den definiert werden, man spricht dann von mehrdimensionalen Verteilungsfunktionen.

Allgemeine Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittels der Verteilung einer Zufallsvariablen kann ein Wahrscheinlichkeitsmaß über eine Zufallsvariable in einen zweiten Messraum übertragen werden und erzeugt dort wieder eine entsprechend der Zufallsvariablen transformierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieses Vorgehen entspricht der Konstruktion eines Bildmaßes in der Maßtheorie und liefert viele wichtige Verteilungen wie beispielsweise die Binomialverteilung.

Normierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes endliche Maß kann durch Normierung in ein Wahrscheinlichkeitsmaß umgewandelt werden. Ebenso kann man ein σ-endliches Maß in ein Wahrscheinlichkeitsmaß transformieren, dies ist aber nicht eindeutig. Ist eine Zerlegung des Grundraumes in Mengen endlichen Maßes wie in der Definition des σ-endlichen Maßes gefordert, so liefert beispielsweise

das Geforderte.

Produktmaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Möglichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaße auf großen Räumen zu definieren, sind die Produktmaße. Dabei bildet man das kartesische Produkt zweier Grundmengen und fordert, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser größeren Menge (auf gewissen Mengen) genau dem Produkt der Wahrscheinlichkeitsmaße auf den kleineren Mengen entspricht. Insbesondere unendliche Produktmaße sind wichtig für die Existenz stochastischer Prozesse.

Eindeutigkeit der Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen werden diese häufig nur durch ihre Werte auf wenigen, besonders einfach zu handhabenden Mengen definiert. Beispiel hierfür ist die Konstruktion mittels einer Verteilungsfunktion, die nur die Wahrscheinlichkeiten der Intervalle vorgibt. Die Borelsche σ-Algebra enthält aber weitaus komplexere Mengen als diese Intervalle. Um die Eindeutigkeit der Definitionen zu garantieren, muss man zeigen, dass kein zweites Wahrscheinlichkeitsmaß existiert, das auf den Intervallen die geforderten Werte annimmt, sich aber auf einer weiteren, möglicherweise sehr komplexen Menge der Borelschen σ-Algebra von dem ersten Wahrscheinlichkeitsmaß unterscheidet. Dies liefert der folgende Satz aus der Maßtheorie:

Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der σ-Algebra und ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger dieser σ-Algebra, also , so ist bereits durch seine Werte auf eindeutig bestimmt. Genauer: Ist ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß und ist

so ist . Typische Erzeuger von σ-Algebren sind

  • für endliche oder abzählbar unendliche Mengen , versehen mit der Potenzmenge das Mengensystem der Elemente von , also
,
  • für die Borelsche σ-Algebra auf das System der Intervalle
,

Diese Erzeuger liefern somit die Eindeutigkeit der Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen mittels Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Verteilungsfunktionen und Produktmaßen.

Typen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskrete Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.

Stetige Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung

Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen, sich also in der Form

darstellen lassen für eine integrierbare Funktion . Hierbei handelt es sich um ein Lebesgue-Integral, das aber in den meisten Fällen durch ein Riemann-Integral ersetzt werden kann. Die Verteilungsfunktion von stetigen Verteilungen ist stetig. Umgekehrt gibt es aber Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit stetigen Verteilungsfunktionen, die keine stetigen Verteilungen sind wie beispielsweise die Cantor-Verteilung.

Diese Definition kann auch auf Verteilungen auf dem entsprechend ausgeweitet werden. Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich nach dem Satz von Radon-Nikodým bei den stetigen Verteilungen genau um die absolutstetigen Maße bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Mischformen und singuläre Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktion einer weder diskreten noch stetigen Verteilung

Außer den oben genannten Reinformen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen existieren noch Mischformen. Diese entstehen beispielsweise, wenn man Konvexkombinationen von diskreten und stetigen Verteilungen bildet.

Des Weiteren existieren noch die sogenannten singulären Verteilungen. Diese besitzen weder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion noch eine Wahrscheinlichkeitsdichte noch sind sie eine Konvexkombination von beidem. Bekanntestes Beispiel für solch eine Verteilung ist die Cantor-Verteilung.

Univariate und multivariate Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die sich in mehrere Raumdimensionen erstrecken, werden multivariate Verteilungen genannt. Im Gegensatz dazu nennt man die eindimensionalen Verteilungen univariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Dimensionalität bezieht sich hier nur auf den Grundraum, nicht auf die Parameter, welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben. So ist die (gewöhnliche) Normalverteilung eine univariate Verteilung, auch wenn sie durch zwei Formparameter bestimmt wird.

Charakterisierung durch Kennzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können unterschiedliche Kennzahlen zugeordnet werden. Diese versuchen jeweils, eine Eigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu quantifizieren und damit kompakte Aussagen über die Eigenheiten der Verteilung zu ermöglichen. Beispiele hierfür sind:

Kennzahlen, die auf den Momenten beruhen:

  • Erwartungswert, die Kennzahl für die mittlere Lage einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Varianz und die daraus berechnete Standardabweichung, Kennzahl für den Grad der „Streuung“ der Verteilung
  • Schiefe, Kennzahl für die Asymmetrie der Verteilung
  • Wölbung, Kennzahl für die „Spitzigkeit“ der Verteilung

Des Weiteren gibt es

Wichtige Wahrscheinlichkeitsmaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier sind einige der wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufgezählt. Weitere finden sich in der Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder über die Navigationsleiste am Artikelende einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Diskret[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine der elementaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Bernoulli-Verteilung. Sie modelliert einen Münzwurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze. Dementsprechend gibt es zwei Ausgänge: Kopf oder Zahl, häufig der Einfachheit halber mit 0 und 1 codiert. Darauf aufbauend ist die Binomialverteilung. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei n Würfen mit einer Münze k-mal Kopf zu werfen.

Eine weitere wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die diskrete Gleichverteilung. Sie entspricht dem Würfeln mit einem fairen, n-flächigen Würfel. Jede Fläche hat demnach dieselbe Wahrscheinlichkeit. Ihr Bedeutung kommt daher, dass sich aus der diskreten Gleichverteilung über das Urnenmodell eine große Anzahl weiterer Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Verteilung von entsprechenden Zufallsvariablen erzeugen lassen. Auf diese Weise lassen sich beispielsweise die hypergeometrische Verteilung, die geometrische Verteilung und die negative Binomialverteilung erzeugen.

Stetig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herausragend unter den stetigen Verteilungen ist die Normalverteilung. Diese Sonderstellung ist auf den zentralen Grenzwertsatz zurückzuführen. Er besagt, dass unter gewissen Umständen eine Überlagerung zufälliger Ereignisse sich immer mehr der Normalverteilung annähert. Dementsprechend wichtig ist die Normalverteilung in der Statistik. Direkt aus ihr abgeleitet sind die Chi-Quadrat-Verteilung und die Studentsche t-Verteilung, die zur Parameterschätzung in der Statistik verwendet werden.

Verteilungsklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufig betrachtet man nicht nur einzelne Wahrscheinlichkeitsmaße, sondern ganze Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit speziellen Eigenschaften, die dann Verteilungsklassen genannt werden. Beispiel hierfür wären:

Des Weiteren gibt es beispielsweise noch Verteilungsklassen mit monotonem Dichtequotienten oder alpha-stabile Verteilungen.

Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen wird Konvergenz in Verteilung oder schwache Konvergenz genannt. Dabei betont die Benennung als

  • Konvergenz in Verteilung, dass es sich um die Konvergenz von Verteilungen von Zufallsvariablen handelt,
  • schwache Konvergenz, dass es sich um einen Spezialfall der schwachen Konvergenz von Maßen aus der Maßtheorie handelt.

Meist wird die Konvergenz in Verteilung als Bezeichnung bevorzugt, da dies einen besseren Vergleich mit den Konvergenzarten der Stochastik (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, Konvergenz im p-ten Mittel und fast sichere Konvergenz) ermöglicht, die alle Konvergenzarten von Zufallsvariablen und nicht von Wahrscheinlichkeitsmaßen sind.

Es existieren viele äquivalente Charakterisierungen der schwachen Konvergenz / Konvergenz in Verteilung. Diese werden im Portmanteau-Theorem aufgezählt.

Auf den reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konvergenz in Verteilung wird auf den reellen Zahlen über die Verteilungsfunktionen definiert:

  • Eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen konvergiert genau dann schwach gegen das Wahrscheinlichkeitsmaß , wenn die Verteilungsfunktionen an jeder Stetigkeitsstelle der Verteilungsfunktion punktweise gegen diese konvergieren.
  • Eine Folge von Zufallsvariablen heißt konvergent in Verteilung gegen , wenn die Verteilungsfunktionen an jeder Stetigkeitsstelle der Verteilungsfunktion punktweise gegen diese konvergieren.

Diese Charakterisierung der schwachen Konvergenz / Konvergenz in Verteilung ist eine Folgerung aus dem Satz von Helly-Bray, wird aber oft als Definition genutzt, da sie leichter zugänglich ist als die allgemeine Definition. Die obige Definition entspricht der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen für den Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsmaßen, wo sie der Konvergenz bezüglich des Lévy-Abstandes entspricht. Der Satz von Helly-Bray liefert die Äquivalenz der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen und der schwachen Konvergenz / Konvergenz in Verteilung auf .

Allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im allgemeinen Fall wird die schwache Konvergenz / Konvergenz in Verteilung durch eine trennende Familie charakterisiert. Ist ein metrischer Raum, sei als σ-Algebra immer die Borelsche σ-Algebra gewählt und sei die Menge der beschränkten stetigen Funktionen. Dann heißt

  • eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen schwach konvergent gegen das Wahrscheinlichkeitsmaß , wenn
  • eine Folge von Zufallsvariablen konvergent in Verteilung gegen , wenn

Meist werden noch weitere strukturelle Eigenschaften von der Grundmenge gefordert, um gewisse Eigenschaften der Konvergenz zu garantieren.

Räume von Wahrscheinlichkeitsmaßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenschaften der Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen hängen maßgeblich von den Eigenschaften des Grundraumes und der σ-Algebra ab. Im Folgenden wird eine Übersicht über die wichtigsten Eigenschaften der Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße gegeben. Dabei sind die allgemeinsten Eigenschaften zuerst genannt und folgen, soweit nicht explizit anders erwähnt, auch für alle weiter unten stehenden Abschnitte. Als Notation sei vereinbart:

  • ist die Borelsche σ-Algebra, falls mindestens ein topologischer Raum ist.
  • ist die Menge der endlichen signierten Maße auf dem Messraum .
  • ist die Menge der endlichen Maße auf dem entsprechenden Messraum.
  • ist die Menge der Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem entsprechenden Messraum.
  • ist die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem entsprechenden Messraum.

Allgemeine Grundräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf allgemeinen Mengen sind die Wahrscheinlichkeitsmaße eine Teilmenge des reellen Vektorraumes der endlichen signierten Maße. Es gelten demnach die Inklusionen

.

Der Vektorraum der endlichen signierten Maße wird mit der Totalvariationsnorm zu einem normierten Vektorraum. Da die Wahrscheinlichkeitsmaße aber nur eine Teilmenge und kein Untervektorraum der signierten Maße sind, sind sie selbst kein normierter Raum. Anstelle dessen werden sie mit dem Totalvariationsabstand

zu einem metrischen Raum. Ist eine dominierte Verteilungsklasse, besitzen also alle Maße in dieser Menge eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezüglich eines einzigen σ-endlichen Maßes, so ist die Konvergenz bezüglich des Totalvariationsabstandes äquivalent zur Konvergenz bezüglich des Hellingerabstandes.

Metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein metrischer Raum, so lässt sich auf die schwache Konvergenz definieren. Bezeichnet man die von der schwachen Konvergenz erzeugten Topologie mit und die entsprechenden Spurtopologie auf den Wahrscheinlichkeitsmaßen als , so wird zu einem topologischen Raum, der sogar ein Hausdorff-Raum ist. Außerdem sind Limites schwach konvergenter Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen immer selbst Wahrscheinlichkeitsmaße (setze dazu in der Definition). Die Konvergenz bezüglich des Totalvariationsabstandes impliziert immer die schwache Konvergenz, die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Somit ist die vom Totalvariationsabstand erzeugte Topologie stärker als .

Des Weiteren lässt sich noch die Prochorow-Metrik auf definieren. Sie macht zu einem metrischen Raum. Außerdem impliziert die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik in allgemeinen metrischen Räumen die schwache Konvergenz. Die von ihr erzeugte Topologie ist demnach stärker als .

Separable metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein separabler metrischer Raum, so ist auch ein separabler metrischer Raum (tatsächlich gilt auch der Umkehrschluss). Da sich bei metrischen Räumen die Separabilität auf Teilmengen überträgt, ist auch separabel.

Außerdem sind auf separablen metrischen Räumen die schwache Konvergenz und die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik äquivalent. Die Prochorow-Metrik metrisiert also .

Polnische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein polnischer Raum, so ist auch ein polnischer Raum. Da abgeschlossen ist in , ist auch ein polnischer Raum.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 13.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Einführung in Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien