Weierstraßsches Majorantenkriterium

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Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass

für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .

Dann gilt: Die Reihe

konvergiert absolut und gleichmäßig auf .[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

überall stetig aber nirgends differenzierbar.[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

sowie

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
  2. E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.