Weierstraßsches Majorantenkriterium
Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.
Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass
für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .
Dann gilt: Die Reihe
konvergiert absolut und gleichmäßig auf .[1]
Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion
überall stetig, aber nirgends differenzierbar.[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich
sowie
nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)